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A是n阶矩阵,下列命题中错误的是( ).
A是n阶矩阵,下列命题中错误的是( ).
admin
2020-12-17
42
问题
A是n阶矩阵,下列命题中错误的是( ).
选项
A、若A
2
=E,则一1必是A的特征值
B、若秩(A+E)<n,则一1必是A的特征值
C、若A中各列元素之和均为一1,则一1必是A的特征值
D、若A是正交矩阵,且特征值乘积小于0,则一1也必是A的特征值.
答案
A
解析
利用特征值定义讨论之.对于具有特殊性质的矩阵,要灵活运用特征值定义.
解一 对于(A),若A
2
=E,A的特征值的取值范围是±1,但并不保证A必有特征值1或一1,例如
可见(A)不正确.仅(A)入选.
解二 用排他法求之.下面逐一验证选项(B)、(C)、(D)都正确,从而仅(A)入选
对于(B),由r(A+E)<n知,
|A+E|=|A-(-E)|=0.
由特征值定义知,一1必是A的特征值.(B)正确.
对于(C),A与A
T
有相同的特征值(注意特征向量一般是不同的),由于A
T
各行元素之和均为一1,从而有
由特征值定义知,一1为A
T
的特征值,也必是A的特征值.(C)正确.
对于(D),A为正交矩阵,有AA
T
=E,从而|A|=±1.又特征值之积小于零,那么|A|=一1.又因
|E+A|=|AA
T
+A|=|A(A
T
+E)|=|A(A
T
+E
T
)|
=|A||A+E|=-|A+E|,
故|E+A|=0,即|A-(-1)E|=0,从而一1必是A的特征值.(D)正确.
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考研数学三
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