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设A是n阶可逆矩阵,其每行元素之和都等于常数a.证明:(1)a≠0;(2)A-1的每行元素之和均为
设A是n阶可逆矩阵,其每行元素之和都等于常数a.证明:(1)a≠0;(2)A-1的每行元素之和均为
admin
2019-03-12
71
问题
设A是n阶可逆矩阵,其每行元素之和都等于常数a.证明:(1)a≠0;(2)A
-1
的每行元素之和均为
选项
答案
(1)将A中各列加到第一列,得 [*] 若a=0,则|A|=0,这与A是可逆矩阵矛盾,故a≠0. (2)令A=[α
1
,α
2
,…,α
n
],A=[β
1
,β
2
,…,β
n
],E=[e
1
,e
2
,…,e
n
],由A
-1
A=E,得 A
-1
[α
1
,α
2
,…,α
n
]=[e
1
,e
2
,…,e
n
], A
-1
α
j
e
j
,j=1,…,n, A
-1
α
1
+A
-1
α
2
+…+A
-1
α
n
=e
1
+e
2
+…+e
n
, A
-1
(α
1
+α
2
+…+α
n
)=[*] 另一方面,[*]=a(β
1
+β
2
+…+β
n
). 比较以上两式,可得 a(β
1
+β
2
+…+β
n
)=[*].β
1
+β
2
+…+β
n
=[*] 故A
-1
的每行元素之和为[*]
解析
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考研数学三
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