设A是n阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为

admin2019-03-12 47

问题设A是n阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A^-1的每行元素之和均为

选项

答案(1)将A中各列加到第一列，得 [*] 若a=0，则|A|=0，这与A是可逆矩阵矛盾，故a≠0． (2)令A=[α₁，α₂，…，α_n]，A=[β₁，β₂，…，β_n]，E=[e₁，e₂，…，e_n]，由A^-1A=E，得 A^-1[α₁，α₂，…，α_n]=[e₁，e₂，…，e_n]， A^-1α_je_j，j=1，…，n， A^-1α₁+A^-1α₂+…+A^-1α_n=e₁+e₂+…+e_n， A^-1(α₁+α₂+…+α_n)=[*] 另一方面，[*]=a(β₁+β₂+…+β_n)．比较以上两式，可得 a(β₁+β₂+…+β_n)=[*]．β₁+β₂+…+β_n=[*] 故A^-1的每行元素之和为[*]

解析

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考研数学三

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