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  3. 设A是n阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为

设A是n阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为

admin2019-03-12  83
问题 设A是n阶可逆矩阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为
选项
答案(1)将A中各列加到第一列，得 [*] 若a=0，则|A|=0，这与A是可逆矩阵矛盾，故a≠0． (2)令A=[α1，α2，…，αn]，A=[β1，β2，…，βn]，E=[e1，e2，…，en]，由A-1A=E，得 A-1[α1，α2，…，αn]=[e1，e2，…，en]， A-1αjej，j=1，…，n， A-1α1+A-1α2+…+A-1αn=e1+e2+…+en， A-1(α1+α2+…+αn)=[*] 另一方面，[*]=a(β1+β2+…+βn)． 比较以上两式，可得 a(β1+β2+…+βn)=[*]．β1+β2+…+βn=[*] 故A-1的每行元素之和为[*]
解析
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考研数学三

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