已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32,求参数a,b及正交矩阵P.

admin2020-06-05  20

问题 已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32,求参数a,b及正交矩阵P.

选项

答案二次型f及其标准形的矩阵分别是 A=[*]与[*] 而 |A-2E| [*] =(1-λ-a)[a2-(2+a)λ+a-7] 又A与[*]相似,从而3是特征方程|A-λE|=0的二重根.注意到[﹣(2+a)]2-4(a-7)=a2+32﹥0 故而1-a=3,a=﹣2.再由Tr(A)=[*]得1+1+1=3+3+b,解之得b=﹣3.于是可得矩阵A的特征值是3,3,﹣3. 当λ=3时,解方程(A-3E)x=0.由 A-3E=[*] 得基础解系p1=(﹣1,1,0)T,p2=(﹣1,0,1)T.对p1,p2正交化,令α1=p1=[*],α2=p2-[*] 对于α1,α2进行单位化,有[*] 当λ=﹣3时,解方程(A+3E)x=0.由 A+3E[*] 得基础解系p3=(1,1,1)T,对p3单位化,得q3=[*].于是正交变换 [*]

解析
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