已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－4x1x2－4x1x3＋2ax2x3通过正交变换x＝Py化成标准形f＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及正交矩阵P．

admin2020-06-05 56

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x₁²＋x₂²＋x₃²－4x₁x₂－4x₁x₃＋2ax₂x₃通过正交变换x＝Py化成标准形f＝3y₁²＋3y₂²＋by₃²，求参数a，b及正交矩阵P．

选项

答案二次型f及其标准形的矩阵分别是 A＝[*]与[*] 而｜A－2E｜ [*] ＝(1－λ－a)[a²－(2＋a)λ＋a－7] 又A与[*]相似，从而3是特征方程｜A－λE｜＝0的二重根．注意到[﹣(2＋a)]²－4(a－7)＝a²＋32﹥0 故而1－a＝3，a＝﹣2．再由Tr(A)＝[*]得1＋1+1＝3＋3＋b，解之得b＝﹣3．于是可得矩阵A的特征值是3，3，﹣3．当λ＝3时，解方程(A－3E)x＝0．由 A－3E＝[*] 得基础解系p₁＝(﹣1，1，0)^T，p₂＝(﹣1，0，1)^T．对p₁，p₂正交化，令α₁＝p₁＝[*]，α₂＝p₂－[*] 对于α₁，α₂进行单位化，有[*] 当λ＝﹣3时，解方程(A＋3E)x＝0．由 A＋3E[*] 得基础解系p₃＝(1，1，1)^T，对p₃单位化，得q₃＝[*]．于是正交变换 [*]

解析

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考研数学一

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已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－4x1x2－4x1x3＋2ax2x3通过正交变换x＝Py化成标准形f＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及正交矩阵P．

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