2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－4x1x2－4x1x3＋2ax2x3通过正交变换x＝Py化成标准形f＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及正交矩阵P．

已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－4x1x2－4x1x3＋2ax2x3通过正交变换x＝Py化成标准形f＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及正交矩阵P．

admin2020-06-05  21
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－4x1x2－4x1x3＋2ax2x3通过正交变换x＝Py化成标准形f＝3y12＋3y22＋by32，求参数a，b及正交矩阵P．
选项
答案二次型f及其标准形的矩阵分别是 A＝[*]与[*] 而 ｜A－2E｜ [*] ＝(1－λ－a)[a2－(2＋a)λ＋a－7] 又A与[*]相似，从而3是特征方程｜A－λE｜＝0的二重根．注意到[﹣(2＋a)]2－4(a－7)＝a2＋32﹥0 故而1－a＝3，a＝﹣2．再由Tr(A)＝[*]得1＋1+1＝3＋3＋b，解之得b＝﹣3．于是可得矩阵A的特征值是3，3，﹣3． 当λ＝3时，解方程(A－3E)x＝0．由 A－3E＝[*] 得基础解系p1＝(﹣1，1，0)T，p2＝(﹣1，0，1)T．对p1，p2正交化，令α1＝p1＝[*]，α2＝p2－[*] 对于α1，α2进行单位化，有[*] 当λ＝﹣3时，解方程(A＋3E)x＝0．由 A＋3E[*] 得基础解系p3＝(1，1，1)T，对p3单位化，得q3＝[*]．于是正交变换 [*]
解析
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考研数学一

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