设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明: 若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.

admin2021-10-18  16

问题 设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明:
若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.

选项

答案F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-2∫0xf(t)dt,F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)],其中ξ介于0与x之间,当x<0时,x≤ξ≤0,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0,当x≥0时,0≤ξ≤x,因为f(x)单调不增,所以F’(x)≥0,从而F(x)单调不减.

解析
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