设k为参数,试确定方程χ2+4χ=keχ的根的个数以及每个根所在的区间.

admin2018-06-12  36

问题 设k为参数,试确定方程χ2+4χ=keχ的根的个数以及每个根所在的区间.

选项

答案转化为函数方程F(χ)=(χ2+4χ+1)e-χοk,为此需讨论函数F(χ)的增减性,极值与值域. 由F′(χ)=(2χ+4-χ2-4χ-1)e-χ=(3-2χ-χ2)e-χ=(3+χ)(1-χ)e-χ可知,函数F(χ)有两个驻点χ=-3与χ=1,结合[*]F(χ)=+∞与[*]F(χ)=0可列表讨论F(χ)的单调性与极值如下: [*] 函数F(χ)的示意图如图6—1. [*] 由此可得结论: (1)当k>[*]时直线y=k与曲线y=(χ2+4χ+1)e-χ有一个交点,其横坐标χ1<-3,即当k>[*]时方程χ2+4χ+1=keχ有唯一根,此根位于区间(-∞,-3)内. (2)当k=[*]时,直线y=k与曲线y=(χ2+4χ+1)e-χ有两个交点,一个交点的横坐标χ1<-3,而另一个交点的横坐标χ2=1,即当k=[*]时,方程χ2+4χ+1=keχ有两个根,一个位于区间(-∞,-3)内,另一个是χ2=1. (3)当0<k<[*]时,直线y=k与曲线y=(χ2+4χ+1)e-χ有三个交点,其横坐标分别为χ1<-3,-3<χ2<1,χ3>1,即当0<k<[*]时,方程χ2++4χ+1=keχ有三个根,分别位于区间(-∞,-3),(-3.1).(1.+∞)内. (4)当-2e3<k≤0时,直线y=k与曲线y=(χ2+4χ+1)e-χ有两个交点,其横坐标分别为χ1<-3,-3<χ2<0,即当-2e3<k≤0时方程χ2+4χ+1=keχ有两个根,分别位于区间(-∞,-3),(-3,0)内. (5)当k=-2e3时,直线y=k与曲线y=(χ2+4χ+1)e-χ有一个交点,其横坐标为χ1=-3,即这时方程χ2+4χ+1=keχ有唯一根χ1=-3. (6)当k<-2e3时,直线y=k与曲线y=(y2+4χ+1)e-χ无交点,即此时方程χ2+4χ+1=keχ无根.

解析
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