2. 考研
  3. 设k为参数，试确定方程χ2＋4χ＝keχ的根的个数以及每个根所在的区间．

设k为参数，试确定方程χ2＋4χ＝keχ的根的个数以及每个根所在的区间．

admin2018-06-12  40
问题 设k为参数，试确定方程χ2＋4χ＝keχ的根的个数以及每个根所在的区间．
选项
答案转化为函数方程F(χ)＝(χ2＋4χ＋1)e－χοk，为此需讨论函数F(χ)的增减性，极值与值域． 由F′(χ)＝(2χ＋4－χ2－4χ－1)e－χ＝(3－2χ－χ2)e－χ＝(3＋χ)(1－χ)e－χ可知，函数F(χ)有两个驻点χ＝－3与χ＝1，结合[*]F(χ)＝＋∞与[*]F(χ)＝0可列表讨论F(χ)的单调性与极值如下： [*] 函数F(χ)的示意图如图6—1． [*] 由此可得结论： (1)当k＞[*]时直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有一个交点，其横坐标χ1＜－3，即当k＞[*]时方程χ2＋4χ＋1＝keχ有唯一根，此根位于区间(－∞，－3)内． (2)当k＝[*]时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有两个交点，一个交点的横坐标χ1＜－3，而另一个交点的横坐标χ2＝1，即当k＝[*]时，方程χ2＋4χ＋1＝keχ有两个根，一个位于区间(－∞，－3)内，另一个是χ2＝1． (3)当0＜k＜[*]时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有三个交点，其横坐标分别为χ1＜－3，－3＜χ2＜1，χ3＞1，即当0＜k＜[*]时，方程χ2＋＋4χ＋1＝keχ有三个根，分别位于区间(－∞，－3)，(－3．1)．(1．＋∞)内． (4)当－2e3＜k≤0时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有两个交点，其横坐标分别为χ1＜－3，－3＜χ2＜0，即当－2e3＜k≤0时方程χ2＋4χ＋1＝keχ有两个根，分别位于区间(－∞，－3)，(－3，0)内． (5)当k＝－2e3时，直线y＝k与曲线y＝(χ2＋4χ＋1)e－χ有一个交点，其横坐标为χ1＝－3，即这时方程χ2＋4χ＋1＝keχ有唯一根χ1＝－3． (6)当k＜－2e3时，直线y＝k与曲线y＝(y2＋4χ＋1)e－χ无交点，即此时方程χ2＋4χ＋1＝keχ无根．
解析
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考研数学一

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