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设k为参数,试确定方程χ2+4χ=keχ的根的个数以及每个根所在的区间.
设k为参数,试确定方程χ2+4χ=keχ的根的个数以及每个根所在的区间.
admin
2018-06-12
30
问题
设k为参数,试确定方程χ
2
+4χ=ke
χ
的根的个数以及每个根所在的区间.
选项
答案
转化为函数方程F(χ)=(χ
2
+4χ+1)e
-χ
οk,为此需讨论函数F(χ)的增减性,极值与值域. 由F′(χ)=(2χ+4-χ
2
-4χ-1)e
-χ
=(3-2χ-χ
2
)e
-χ
=(3+χ)(1-χ)e
-χ
可知,函数F(χ)有两个驻点χ=-3与χ=1,结合[*]F(χ)=+∞与[*]F(χ)=0可列表讨论F(χ)的单调性与极值如下: [*] 函数F(χ)的示意图如图6—1. [*] 由此可得结论: (1)当k>[*]时直线y=k与曲线y=(χ
2
+4χ+1)e
-χ
有一个交点,其横坐标χ
1
<-3,即当k>[*]时方程χ
2
+4χ+1=ke
χ
有唯一根,此根位于区间(-∞,-3)内. (2)当k=[*]时,直线y=k与曲线y=(χ
2
+4χ+1)e
-χ
有两个交点,一个交点的横坐标χ
1
<-3,而另一个交点的横坐标χ
2
=1,即当k=[*]时,方程χ
2
+4χ+1=ke
χ
有两个根,一个位于区间(-∞,-3)内,另一个是χ
2
=1. (3)当0<k<[*]时,直线y=k与曲线y=(χ
2
+4χ+1)e
-χ
有三个交点,其横坐标分别为χ
1
<-3,-3<χ
2
<1,χ
3
>1,即当0<k<[*]时,方程χ
2
++4χ+1=ke
χ
有三个根,分别位于区间(-∞,-3),(-3.1).(1.+∞)内. (4)当-2e
3
<k≤0时,直线y=k与曲线y=(χ
2
+4χ+1)e
-χ
有两个交点,其横坐标分别为χ
1
<-3,-3<χ
2
<0,即当-2e
3
<k≤0时方程χ
2
+4χ+1=ke
χ
有两个根,分别位于区间(-∞,-3),(-3,0)内. (5)当k=-2e
3
时,直线y=k与曲线y=(χ
2
+4χ+1)e
-χ
有一个交点,其横坐标为χ
1
=-3,即这时方程χ
2
+4χ+1=ke
χ
有唯一根χ
1
=-3. (6)当k<-2e
3
时,直线y=k与曲线y=(y
2
+4χ+1)e
-χ
无交点,即此时方程χ
2
+4χ+1=ke
χ
无根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hUg4777K
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考研数学一
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