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设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且 Aα1=α1-α2+3α3,Aα2=4α1-3α2+5α3,Aα3=0. 求矩阵A的特征值和特征向量.
设A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且 Aα1=α1-α2+3α3,Aα2=4α1-3α2+5α3,Aα3=0. 求矩阵A的特征值和特征向量.
admin
2016-05-09
21
问题
设A是3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且
Aα
1
=α
1
-α
2
+3α
3
,Aα
2
=4α
1
-3α
2
+5α
3
,Aα
3
=0.
求矩阵A的特征值和特征向量.
选项
答案
由Aα
3
=0=0α
3
,知λ=0是A的特征值,α
3
是λ=0的特征向量. 由已知条件有 A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
-α
2
+3α
3
,4α
1
-3α
2
+5α
3
,0), =(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记P=(α
1
,α
2
,α
3
),由α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则矩阵P可逆,故P
-1
AP=B,其中B=[*],因此A~B. 因为相似矩阵有相同的特征值,而矩阵B的特征多项式 |λE-B|=[*]=λ(λ+1)
2
, 所以矩阵B,也即A的特征值为-1,-1,0. 对于矩阵B, [*] 所以矩阵B对应于特征值λ=-1的特征向量是β=(-2,1,1)
T
,若Bβ=λβ,则有(P
-1
AP)β=λβ,即A(PB)=λ(Pβ),那么矩阵A关于特征值λ=-1的特征向量是 Pβ=(α
1
,α
2
,α
3
)[*]=-2α
1
+α
2
+α
3
. 因此k
1
(-2α
1
+α
2
+α
3
),k
2
α
3
分别是矩阵A关于特征值λ=-1和λ=0的特征向量(k
1
,k
2
≠0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Egw4777K
0
考研数学一
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