2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且 Aα1＝α1－α2＋3α3，Aα2＝4α1－3α2＋5α3，Aα3＝0． 求矩阵A的特征值和特征向量．

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且 Aα1＝α1－α2＋3α3，Aα2＝4α1－3α2＋5α3，Aα3＝0． 求矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-05-09  28
问题 设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且
    Aα1＝α1－α2＋3α3，Aα2＝4α1－3α2＋5α3，Aα3＝0．
    求矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案由Aα3＝0＝0α3，知λ＝0是A的特征值，α3是λ＝0的特征向量． 由已知条件有 A(α1，α2，α3)＝(α1－α2＋3α3，4α1－3α2＋5α3，0)， ＝(α1，α2，α3)[*] 记P＝(α1，α2，α3)，由α1，α2，α3线性无关，则矩阵P可逆，故P-1AP＝B，其中B＝[*]，因此A～B． 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式 ｜λE－B｜＝[*]＝λ(λ＋1)2， 所以矩阵B，也即A的特征值为－1，－1，0． 对于矩阵B， [*] 所以矩阵B对应于特征值λ＝－1的特征向量是β＝(－2，1，1)T，若Bβ＝λβ，则有(P-1AP)β＝λβ，即A(PB)＝λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ＝－1的特征向量是 Pβ＝(α1，α2，α3)[*]＝－2α1＋α2＋α3． 因此k1(－2α1＋α2＋α3)，k2α3分别是矩阵A关于特征值λ＝－1和λ＝0的特征向量(k1，k2≠0)．
解析
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考研数学一

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