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已知A=,二次型f(χ1,χ2,χ3)=χT(ATA)χ的秩为2, (1)求实数a的值; (2)求正交变换χ=Qy将f化为标准形.
已知A=,二次型f(χ1,χ2,χ3)=χT(ATA)χ的秩为2, (1)求实数a的值; (2)求正交变换χ=Qy将f化为标准形.
admin
2016-05-09
50
问题
已知A=
,二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
T
(A
T
A)χ的秩为2,
(1)求实数a的值;
(2)求正交变换χ=Qy将f化为标准形.
选项
答案
(1)A
T
A=[*],由r(A
T
A)=2可得, |AA|=[*]=(a+1)
2
(a
2
+3)=0 可得a=-1. (2)由(1)中结果,则 f=χ
T
A
T
Aχ=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*] =2χ
1
2
+2χ
2
2
+4χ
3
2
+4χ
1
χ
3
+4χ
2
χ
3
. 令矩阵[*] |λE-B|=[*]=λ(λ-2)(λ-6)=0, 解得B矩阵的特征值为λ
1
=0,λ
2
=2,λ
3
=6. 对于λ
1
=0,解(λ
1
E-B)χ=0,得对应的特征向量为:η
1
=[*] 对于λ
2
=2,解(λ
2
E-B)χ=0,得对应的特征向量为:η
2
=[*] 对于λ
3
=6,解(λ
3
E-B)χ=0,得对应的特征向量为:η
3
=[*] 将η
1
,η
2
,η
3
单位化可得: [*] 令χ=Qy可将原二次型化为2y
2
2
+6y
3
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ngw4777K
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考研数学一
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