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计算二重积分(2x2+y2-2x+2y)dxdy,其中D={(x,y)|x2+y2≤2x}。
计算二重积分(2x2+y2-2x+2y)dxdy,其中D={(x,y)|x2+y2≤2x}。
admin
2021-01-31
30
问题
计算二重积分
(2x
2
+y
2
-2x+2y)dxdy,其中D={(x,y)|x
2
+y
2
≤2x}。
选项
答案
方法一: 由对称性得[*](2x
2
+y
2
-2x+2y)dxdy=[*](2x
2
+y
2
-2x)dxdy, 令[*],(-π/2≤θ≤π/2,0≤r≤2cosθ),则 [*](2x
2
+y
2
-2x)dxdy=∫
π/2
π/2
dθ∫
0
2cosθ
r(r
2
+r
2
cos
2
θ-2rcosθ)dr =∫
π/2
-π/2
(4cos
1
θ+4cos
6
θ-16/3cos
4
θ)dx =2∫
0
π/2
(4cos
6
θ-4/3cos
4
θ)dθ=3π/4。 方法二: 由对称性得[*](2x
2
+y
2
-2x+2y)dxdy=[*](2x
2
+y
2
-2x)dxdy, 区域D化为(x-1)
2
+y
2
≤1, 令[*](0≤θ≤2π,0≤r≤1),则 [*](2x
2
+y
2
-2x)dxdy=[*][(x-1)
2
+y
2
+x
2
-1]dxdy =∫
0
2π
dθ∫
0
1
r[r
2
+(1+rcosθ)
2
]dr-π =∫
0
2π
dθ∫
0
1
(r
3
+r+2r
2
cosθ+r
3
cos
2
θ)dr-π =∫
0
2π
(3/4+2/3cosθ+1/4cos
2
θ)dθ-π [*]
解析
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0
考研数学三
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