2. 考研
  3. A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

admin2017-06-14  49
问题 A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．
选项
答案由题设λ=0是A，B的特征值，设r(A)=r，r(B)=s， 且α1，…，αn－r是Ax=0的基础解系，即是A关于λ=0的特征向量， β1，…，βn－s是B关于λ=0的特征向量， =>α1，…，αn－r，β1，…，βn－s必线性相关， =>k1α1+…+kn－rαn－r+l1β1+…+ln－sβn－s=0(系数不全为零)，由于α1，…，αn－r与β1，…，βn－s线性无关=>k1，…，kn－r与l1，…，ln－s必分别不全为零． 令γ=k1α1+…+kn－rαn－r=－l1β1+…+ln－sβn－s≠0，即为A，B公共的特征向量．
解析
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考研数学一

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