A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

admin2017-06-14 25

问题 A，B是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

选项

答案由题设λ=0是A，B的特征值，设r(A)=r，r(B)=s，且α₁，…，α_n－r是Ax=0的基础解系，即是A关于λ=0的特征向量， β₁，…，β_n－s是B关于λ=0的特征向量， =>α₁，…，α_n－r，β₁，…，β_n－s必线性相关， =>k₁α₁+…+k_n－rα_n－r+l₁β₁+…+l_n－sβ_n－s=0(系数不全为零)，由于α₁，…，α_n－r与β₁，…，β_n－s线性无关=>k₁，…，k_n－r与l₁，…，l_n－s必分别不全为零．令γ=k₁α₁+…+k_n－rα_n－r=－l₁β₁+…+l_n－sβ_n－s≠0，即为A，B公共的特征向量．

解析

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