设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )

admin2021-01-25 57

问题设A为4×3矩阵，η₁，η₂，η₃是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k₁，k₂为任意常数，则Ax=β的通解为( )

选项 A、

+k₁(η₂一η₁)。
B、

+k₂(η₂一η₁)。
C、

+k₁(η₃一η₁)+k₂(η₂一η₁)。
D、

+k₁(η₂一η₁)+k₂(η₃一η₁)。

答案C

解析方法一：η₁，η₂，η₃是方程组Ax=β的三个线性无关的解向量，所以可知η₂一η₁，η₃一η₁是Ax=0的两个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系中至少含有两个线性无关的解，所以可以排除A，B两项。
又因为

是Ax=0的一个解，而不是Ax=β的解，因此可以排除D选项，所以正确答案为C。
方法二：η₁，η₂，η₃是方程组Ax=β的三个线性无关的解向量，所以可知η₂一η₁，η₃一η₁是Ax=0的两个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系中至少含有两个线性无关的解，因此3一r(A)≥2，故r(A)≤1。
根据A≠0又可以得到r(A)≥1，因此可知r(A)=1，这样Ax=0的基础解系中正好含有两个线性无关的解向量，因此可知η₂一η₁，η₃一η₁是Ax=0的一个基础解系。所以Ax=0的通解为
k₁(η₃一η₁)+k₂(η₂一η₁)，其中k₁，k₂为任意常数。
η₁，η₂，η₃是方程组Ax=β的解，所以

是Ax=β的一个特解，所以Ax=β的通解为

+k₁(η₃一η₁)+k₂(η₂一η₁)，其中k₁，k₂为任意常数。

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考研数学三

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