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设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )
设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )
admin
2021-01-25
49
问题
设A为4×3矩阵，η
1
，η
2
，η
3
是非齐次线性方程组Ax=β的三个线性无关的解，k
1
，k
2
为任意常数，则Ax=β的通解为( )
选项
A、
+k
1
(η
2
一η
1
)。
B、
+k
2
(η
2
一η
1
)。
C、
+k
1
(η
3
一η
1
)+k
2
(η
2
一η
1
)。
D、
+k
1
(η
2
一η
1
)+k
2
(η
3
一η
1
)。
答案
C
解析
方法一：η
1
，η
2
，η
3
是方程组Ax=β的三个线性无关的解向量，所以可知η
2
一η
1
，η
3
一η
1
是Ax=0的两个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系中至少含有两个线性无关的解，所以可以排除A，B两项。
又因为
是Ax=0的一个解，而不是Ax=β的解，因此可以排除D选项，所以正确答案为C。
方法二：η
1
，η
2
，η
3
是方程组Ax=β的三个线性无关的解向量，所以可知η
2
一η
1
，η
3
一η
1
是Ax=0的两个线性无关的解向量，即Ax=0的基础解系中至少含有两个线性无关的解，因此3一r(A)≥2，故r(A)≤1。
根据A≠0又可以得到r(A)≥1，因此可知r(A)=1，这样Ax=0的基础解系中正好含有两个线性无关的解向量，因此可知η
2
一η
1
，η
3
一η
1
是Ax=0的一个基础解系。所以Ax=0的通解为
k
1
(η
3
一η
1
)+k
2
(η
2
一η
1
)，其中k
1
，k
2
为任意常数。
η
1
，η
2
，η
3
是方程组Ax=β的解，所以
是Ax=β的一个特解，所以Ax=β的通解为
+k
1
(η
3
一η
1
)+k
2
(η
2
一η
1
)，其中k
1
，k
2
为任意常数。
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考研数学三
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