2. 考研
  3. 设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax =β的通解为（1．2，2，1）T+c（1，—2，4，0）T，c任意．记B=（α3，α2，α1，β—α4）．求方程组Bx=α1—α2的通解．

设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax =β的通解为（1．2，2，1）T+c（1，—2，4，0）T，c任意．记B=（α3，α2，α1，β—α4）．求方程组Bx=α1—α2的通解．

admin2017-11-22  113
问题 设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax =β的通解为（1．2，2，1）T+c（1，—2，4，0）T，c任意．记B=（α3，α2，α1，β—α4）．求方程组Bx=α1—α2的通解．
选项
答案首先从AX =β的通解为(1，2，2，1)T+c（1，—2，4，0）T可得到下列讯息： ①Ax =0的基础解系包含1个解，即4— r(A)=1，得r(A)=3．即r（α1，α2，α3，α4）=3． ②(1，2，2，1)T是Ax =β解，即α1+2α2+2α3+α4=β． ③（1，—2，4，0）T是Ax=0解，即α1— 2α2+4α3=0．α1，α2，α3线性相关，r（α1，α2，α3）=2． 显然B（0，—1，1，0）T=α1—α2，即（0，—1，1，0）T是Bx=α1—α2的一个解． 由②，B=（α3，α2，α1，β— α4）=（α3，α2，α1，α1+2α2+2α3），于是 r（B）= r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2． 则Bx =0的基础解系包含解的个数为4— r(B)=2个，α1— 2α2+4α3=0说明（4，—2，1，0）T 是Bx =0的解；又从B=（α3，α2，α1，α1+2α2+2α3）容易得到B（—2，—2，—1，1）T=0，说明（—2，—2，—1，1）T也是Bx =0的解，于是（4，—2，1，0）T和（—2，—2，—1，1）T构成Bx=0的基础解系． Bx=α1—α2的通解为： (0，— 1，1，0) T+c1 (4，—2，1，0) T+c2 (— 2， — 2， — 1，1)T， c1，c2任意．
解析
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考研数学三

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