已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；

admin2021-12-09 39

问题已知三元二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中

用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；

选项

答案因为A各行元素之和均为0，即[*]由此可知λ=0是A的特征值α₁=(1，1，1)^T是λ=0的特征向量．由AB=一B知一1是A的特征值，α₂=(1，0，一1)^T，α₃=(0，1，一1)^T是λ=一1的线性无关的特征向量．因为α₂，α₃不正交，将其正交化有β₁=α₂=(1，0，一1)^T，[*]再单位化，可得[*]那么令[*]．则有x^TAx=y^TAy=一y₂²一y₃².

解析

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考研数学三

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