已知f(x)具有一阶连续导数,f(1)=e,曲线积分与路径无关,则当积分曲线从A(0,1)到B(1,2)时,I的值为________.

admin2019-05-14  29

问题 已知f(x)具有一阶连续导数,f(1)=e,曲线积分与路径无关,则当积分曲线从A(0,1)到B(1,2)时,I的值为________.

选项

答案[*]

解析 这是一个第二类曲线积分的计算与微分方程求解的综合问题.解题思路是:利用曲线积分与路径无关,建立微分方程,解微分方程求出未知函数f(y),然后再计算从A(0,1)到B(1,2)时I的值.
记P(x,y)=yf(y),Q(x,y)=,因为曲线积分I与路径无关,所以
-f(y)=f(y)+yf’(y),
也即

这是一个一阶线性微分方程的初值求解问题.其通解为

由f(1)=e,得C=0,于是f(y)=.此时

故当积分曲线从A(0,1)到B(1,2)时,I的值为
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