2. 考研
  3. 已知f(x)具有一阶连续导数，f(1)=e，曲线积分与路径无关，则当积分曲线从A(0，1)到B(1，2)时，I的值为________．

已知f(x)具有一阶连续导数，f(1)=e，曲线积分与路径无关，则当积分曲线从A(0，1)到B(1，2)时，I的值为________．

admin2019-05-14  48
问题 已知f(x)具有一阶连续导数，f(1)=e，曲线积分与路径无关，则当积分曲线从A(0，1)到B(1，2)时，I的值为________．
选项
答案[*]
解析 这是一个第二类曲线积分的计算与微分方程求解的综合问题．解题思路是：利用曲线积分与路径无关，建立微分方程，解微分方程求出未知函数f(y)，然后再计算从A(0，1)到B(1，2)时I的值．
记P(x，y)=yf(y)，Q(x，y)=，因为曲线积分I与路径无关，所以
即-f(y)=f(y)+yf’(y)，
也即

这是一个一阶线性微分方程的初值求解问题．其通解为

由f(1)=e，得C=0，于是f(y)=．此时

故当积分曲线从A(0，1)到B(1，2)时，I的值为
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考研数学一

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