设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1/2)=2,f(1)=1/2.证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=c,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ.

admin2022-10-12  28

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1/2)=2,f(1)=1/2.证明:存在c∈(0,1),使得f(c)=c,证明:存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ.

选项

答案令h(x)=f(x)-x,h(1/2)=f(1/2)-1/2=3/2>0,h(1)=f(1)-1=-1/2<0,由零点定理,存在c∈(1/2,1)∈(0,1),使得h(c)=0,即f(c)=c.令φ(x)=ex[f(x)-x],由f(0)=0,f(c)=c得φ(0)=φ(c)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=ex[f’(x)+f(x)-1-x]且ex≠0得f’(ξ)+f(ξ)=1+ξ.

解析
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