设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

admin2020-03-10 81

问题设直线y＝ax与抛物线y＝x²所围成的图形面积为S₁，它们与直线x＝1所围成的图形
面积为S₂，且a＜1．
(1)确定a，使S₁＋S₂达到最小，并求出最小值；
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

选项

答案(1)直线y＝ax与抛物线y＝x²的交点为(0，0)，(a，a²)．当0＜a＜1时，S＝S₁＋S₂＝∫₀^a(ax－x²)dx＋∫_a¹(x²)dx＝[*] 令S’＝a²－[*]时，S₁＋S₂取到最小值，此时最小值为[*]．当a≤0时，S＝∫_a⁰(ax－x²)dx＋∫₀¹(x²－ax)dx＝[*]，因为S’＝[*](a²＋1)＜0，所以S(a)单调减少，故a＝0时S₁＋S₂取最小值，而S(0) [*]时，S₁＋S₂最小． (2)旋转体的体积为V_x＝[*]．

解析

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考研数学三

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设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

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设n阶矩阵A=。证明：行列式|A|=(n+1)an。

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设η1，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。

已知A，B为三阶非零矩阵，且A=β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齐次线性方程组βx=0的三个解向量，且Ax=β3有解。求求Bx=0的通解。

求dσ，其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图1-4-2所示)。

设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成。计算x2dxdy。

根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

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