2. 考研
  3. 在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．

在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．

admin2019-08-06  48
问题 在第一象限求一曲线，使曲线的切线、坐标轴和过切点与横轴平行的直线所围成的梯形面积等于a2，且曲线过点(a，a)，a＞0为常数．
选项
答案设所求曲线为y=f(x)．由题设，作出所围梯形，如图1—9—2中的阴影部分所示． [*] 过曲线y=f(x)上的点(x，y)的切线方程为 Y—y=f’(x)(X—x)． 令Y=0，得切线在x轴上的截距为X=x一[*]，即为梯形的下底的长度． 又梯形的上底的长为x，高为y．因此，梯形面积为 S=[*]=a2． 由此得微分方程2(xy一a2)y’=y2，即y2[*]一2yx=一2a2． 这是关于y的一阶非齐次线性微分方程，可求得通解为x=cy2+[*]，其中c为任意常数． 又因为曲线过点(a，a)，即满足初始条件y(a)=a．代入通解中，得c=[*]．
解析
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考研数学三

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