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  3. [2003年] 已知齐次线性方程组 其中试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

[2003年] 已知齐次线性方程组 其中试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．

admin2019-05-11  103
问题 [2003年]   已知齐次线性方程组
              
其中试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
选项
答案方程组的系数行列式|A|为行和相等的行列式，易求得[*] (1)当|A|≠0，即b≠0且[*]时，秩(A)=n，方程组仅有零解． (2)当|A|=0时，有b=0或[*]两种情况． ①当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2++anxn=0． 由[*]可知，ai(i=1，2，…，n)不全为零，不妨设a1≠0，则 [*] 因秩(A)=1，AX=a1x1+a2x2+…+anxn=0有非零解，一个基础解系含n—1个解向量： α1=[－a2／a1，1，0，…，0]T，α2=[－a3／a1，0，1，…，0]T，…，αn=[－an／a1，0，0，…，1]T． ②当[*]即[*]时，其系数矩阵可化为含最高阶单位矩阵的矩阵： [*] 因而秩(A)=n—1，其基础解系只含一个解向量α=[1，1，…，1]T．
解析
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考研数学三

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