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  3. 设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使（AP）T（AP）为对角矩阵。

设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使（AP）T（AP）为对角矩阵。

admin2020-03-10  72
问题 设矩阵A=有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使（AP）T（AP）为对角矩阵。
选项
答案因为3是A的特征值，故|3E—A|=8（3—y—1）=0，解得y=2。于是 [*] 由于AT=A，要（AP）T（AP）=PTA2P=Λ，而A2=[*]是对称矩阵，即要A2～Λ， 故可构造二次型xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+5y32+[*]y42， 其中y1=x1，y2=x2，y3=x3+[*]x4，y4=x4，即 [*] 于是 （AP）T（AP）=PTA2P=[*]
解析
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考研数学三

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