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设矩阵A=有一个特征值是3,求y,并求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵。
设矩阵A=有一个特征值是3,求y,并求可逆矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵。
admin
2020-03-10
42
问题
设矩阵A=
有一个特征值是3,求y,并求可逆矩阵P,使(AP)
T
(AP)为对角矩阵。
选项
答案
因为3是A的特征值,故|3E—A|=8(3—y—1)=0,解得y=2。于是 [*] 由于A
T
=A,要(AP)
T
(AP)=P
T
A
2
P=Λ,而A
2
=[*]是对称矩阵,即要A
2
~Λ, 故可构造二次型x
T
A
2
x,再化其为标准形。由配方法,有 x
T
A
2
x=x
1
2
+x
2
2
+5x
3
2
+5x
4
2
+8x
3
x
4
=y
1
2
+y
2
2
+5y
3
2
+[*]y
4
2
, 其中y
1
=x
1
,y
2
=x
2
,y
3
=x
3
+[*]x
4
,y
4
=x
4
,即 [*] 于是 (AP)
T
(AP)=P
T
A
2
P=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hyD4777K
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考研数学三
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