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(2017年)已知函数y(x)由方程x3+y3一3x+3y一2=0确定,求y(x)的极值。
(2017年)已知函数y(x)由方程x3+y3一3x+3y一2=0确定,求y(x)的极值。
admin
2021-01-15
15
问题
(2017年)已知函数y(x)由方程x
3
+y
3
一3x+3y一2=0确定,求y(x)的极值。
选项
答案
在方程两边同时对x求导可得 3x
2
+3y
2
y′一3+3y′=0, (1) 令y′=0可得3x
2
一3=0,故x±1。 由极值的必要条件可知,函数只可能在x=1与x=一1处取得极值。为检验该点是否为极值点,需计算函数的二阶导数,对(1)式两边同时求导可得 6x+6y(y′)
2
+3y
2
y"+3y"=0。 (2) 当x=1时,y=1,将x=1,y=1,y′=0代入(2)式可得y"(1)=一1<0,故y(1)=1是函数的极大值。 当x=一1时,y=0,将x=1,y=0,y′=0代入(2)式可得y"(一1)=2>0,故y(一1)=0是函数的极小值。
解析
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考研数学一
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