(2017年)已知函数y(x)由方程x3+y3一3x+3y一2=0确定，求y(x)的极值。

admin2021-01-15 15

问题 (2017年)已知函数y(x)由方程x³+y³一3x+3y一2=0确定，求y(x)的极值。

选项

答案在方程两边同时对x求导可得 3x²+3y²y′一3+3y′=0， (1) 令y′=0可得3x²一3=0，故x±1。由极值的必要条件可知，函数只可能在x=1与x=一1处取得极值。为检验该点是否为极值点，需计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得 6x+6y(y′)²+3y²y"+3y"=0。 (2) 当x=1时，y=1，将x=1，y=1，y′=0代入(2)式可得y"(1)=一1＜0，故y(1)=1是函数的极大值。当x=一1时，y=0，将x=1，y=0，y′=0代入(2)式可得y"(一1)=2＞0，故y(一1)=0是函数的极小值。

解析

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考研数学一

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