2. 考研
  3. 设f（x)在[a,b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,...,n),任取ki﹥0(i=1,2,....n),证明：存在ε∈[a,b],使得 k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).

设f（x)在[a,b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,...,n),任取ki﹥0(i=1,2,....n),证明：存在ε∈[a,b],使得 k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).

admin2020-03-16  65
问题 设f（x)在[a,b]上连续，任取xi∈[a,b](i=1,2,...,n),任取ki﹥0(i=1,2,....n),证明：存在ε∈[a,b],使得
k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).
选项
答案因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M，显然有m≤f(xi)≤M(i=1,2,...,n) 注意到ki＞0(i=1,2,...,n)所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1,2,...,n), 同向不等式相加得， （k1+k2+...+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn)≤(k1+k2+...+kn)M, [*], 即k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).
解析
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考研数学二

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