设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,...,n),任取ki﹥0(i=1,2,....n),证明:存在ε∈[a,b],使得 k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).

admin2020-03-16  36

问题 设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,...,n),任取ki﹥0(i=1,2,....n),证明:存在ε∈[a,b],使得
k1f(x1)+k2f(x2)+...knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).

选项

答案因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M,显然有m≤f(xi)≤M(i=1,2,...,n) 注意到ki>0(i=1,2,...,n)所以有kim≤kif(xi)≤kiM(i=1,2,...,n), 同向不等式相加得, (k1+k2+...+kn)m≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn)≤(k1+k2+...+kn)M, [*], 即k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn)=(k1+k2+...+kn)f(ε).

解析
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