设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2018-05-25 34

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ(n≥2)．
证明方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n；

选项

答案令φ_n(x)=f_n(x)－1，因为φ_n(0)=－1＜0，φ_n(1)=n－1＞0，所以φ_n(x) 在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有一个根．因为φ’_n(x)=1+2x+…+nx^n－1＞0，所以φ_n(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ_n(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x_n．

解析

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