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设积分区域D={(x,y)|0≤x≤y≤2π},计算二重积分I=|sin(y-x)|dσ.
设积分区域D={(x,y)|0≤x≤y≤2π},计算二重积分I=|sin(y-x)|dσ.
admin
2018-12-21
47
问题
设积分区域D={(x,y)|0≤x≤y≤2π},计算二重积分I=
|sin(y-x)|dσ.
选项
答案
由于被积函数为|sin(y-x)|,因此要分D为D
1
∪D
2
,如图所示. [*] 其中 D
1
={(x,y)|π≤y-x≤2π,(x,y)∈D}, D
2
={(x,y)|0≤y-x≤π,(x,y)∈D}, 仅当y-x=π((x,y)∈D)时D
1
与D
2
有公共边,不影响积分的值. I=[*]sin(y﹣x)dσ-[*]sin(y﹣x)dσ =[*]sin(y﹣x)dσ+[*]sin(y﹣x)dσ-2[*]sin(y﹣x)dσ =[*]sin(y﹣x)dσ-2[*]sin(y﹣x)dσ =∫
0
2π
dxsin∫
x
2π
(y-x)dy-2∫
0
π
dx∫
x﹢π
2π
sin(y-x)dy =-∫
0
2π
cos(y-x)|
y-x
y-2π
dx﹢2∫
0
π
cos(y-x)|
y-x﹢π
y-2π
dx =-∫
0
2π
(cos x-1)dx﹢2∫
0
π
(cos x﹢1)dx=4π.
解析
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0
考研数学二
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