设积分区域D={(x,y)|0≤x≤y≤2π},计算二重积分I=|sin(y-x)|dσ.

admin2018-12-21  30

问题 设积分区域D={(x,y)|0≤x≤y≤2π},计算二重积分I=|sin(y-x)|dσ.

选项

答案由于被积函数为|sin(y-x)|,因此要分D为D1∪D2,如图所示. [*] 其中 D1={(x,y)|π≤y-x≤2π,(x,y)∈D}, D2={(x,y)|0≤y-x≤π,(x,y)∈D}, 仅当y-x=π((x,y)∈D)时D1与D2有公共边,不影响积分的值. I=[*]sin(y﹣x)dσ-[*]sin(y﹣x)dσ =[*]sin(y﹣x)dσ+[*]sin(y﹣x)dσ-2[*]sin(y﹣x)dσ =[*]sin(y﹣x)dσ-2[*]sin(y﹣x)dσ =∫0dxsin∫x(y-x)dy-2∫0πdx∫x﹢πsin(y-x)dy =-∫0cos(y-x)|y-xy-2πdx﹢2∫0πcos(y-x)|y-x﹢πy-2πdx =-∫0(cos x-1)dx﹢2∫0π(cos x﹢1)dx=4π.

解析
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