2. 考研
  3. (2000年)函数f(χ)在[0，＋∞]上可导，f(0)＝1，且满足等式 f′(χ)＋f(χ)－∫0χf(t)dt (1)求导数f′(χ)； (2)证明：当χ≥0时，成立不等式：e-χ≤f(χ)≤1．

(2000年)函数f(χ)在[0，＋∞]上可导，f(0)＝1，且满足等式 f′(χ)＋f(χ)－∫0χf(t)dt (1)求导数f′(χ)； (2)证明：当χ≥0时，成立不等式：e-χ≤f(χ)≤1．

admin2016-05-30  51
问题 (2000年)函数f(χ)在[0，＋∞]上可导，f(0)＝1，且满足等式
    f′(χ)＋f(χ)－∫0χf(t)dt
    (1)求导数f′(χ)；
    (2)证明：当χ≥0时，成立不等式：e-χ≤f(χ)≤1．
选项
答案(1)由题设知 (χ＋1)f′(χ)＋(χ＋1)f(χ)－∫0χf(t)dt＝0 上式两边对χ求导，得(χ＋1)f〞(χ)＝－(χ＋2)f′(χ) 设u＝f′(χ)则有[*] 解得f′(χ)＝u＝[*] 由f(0)＝1，及f′(0)＋f(0)＝0，知f′(0)＝－1，从而C＝－1． 因此f′(χ)＝[*] (2)当χ≥0时，f′(χ)＜0，即f(χ)单调减少，又f(0)＝1，所以f(χ)≤f(0)＝1 设φ(χ)＝f(χ)－e－χ 则φ(0)＝0，φ′(χ)≥0，即φ(χ)单调增加，因而 φ(χ)≥φ(0)＝0，即有f(χ)≥e－χ 综上所述，当χ≥0时，成立不等式e－χ≤f(χ)≤1
解析
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考研数学二

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