在区间(-∞，+∞)内，方程｜x｜1/4+｜x｜1/2-cosx=0( )．

admin2013-09-15 71

问题在区间(-∞，+∞)内，方程｜x｜^1/4+｜x｜^1/2-cosx=0( )．

选项 A、无实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个实根
D、有无穷多个实根

答案C

解析令f(x)=｜x｜^1/4+｜x｜^1/2-cosx．
由于f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数，因此只需考虑f(x)=0在(0，+∞)内的实根情况．
当x≥0时，f(x)=x^1/4+x^1/2-cosx，

  可见，当x∈(0，π/2)时，f^’(x)＞0，f(x)在(0，π/2)内单调增加，且f(0)=-1，f(π/2)＞1，
  因此f(x)=0在(0，π/2)上有唯一实根；当x≥π/2时，f(x)＞0，
  故在(0，+∞)上f(x)仅存在唯一实根，根据f(x)关于y轴对称的性质，
  f(x)=0在(-∞，+∞)上有且仅有两个实根．故应选(C)．

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