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设曲线y=f(x),其中y=(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
设曲线y=f(x),其中y=(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
admin
2018-12-19
42
问题
设曲线y=f(x),其中y=(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
选项
答案
根据旋转体的体积公式 V=∫
1
t
πf
2
(x)dx=π∫
1
t
f
2
(x)dx, 而曲边梯形的面积为s=∫
1
t
f(x)dx,则由题意可知V=πts可以得到 V=π∫
1
t
f
2
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx, 因此可得 ∫
1
t
f
2
(x)dx=t∫
1
t
f(x)dx。 上式两边同时对t求导可得 f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t), 即有 f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx。 继续求导可得 2f(t)f’(t)—f(t)一tf’(t)=f(t), 化简 [2f(t)一t]f’(t)=2f(t), 即有[*] 解这个微分方程得 [*] 在f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx中令t=1,则f
2
(1)一f(1)=0,又f(t)>0,即f(1)=1,将其代入[*],得[*]。所以[*]。 因此该曲线方程为 [*]
解析
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考研数学二
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