2. 考研
  3. 设曲线y=f(x)，其中y=(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

设曲线y=f(x)，其中y=(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

admin2018-12-19  68
问题 设曲线y=f(x)，其中y=(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
选项
答案根据旋转体的体积公式 V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx， 而曲边梯形的面积为s=∫1tf(x)dx，则由题意可知V=πts可以得到 V=π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx， 因此可得 ∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。 上式两边同时对t求导可得 f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)， 即有 f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx。 继续求导可得 2f(t)f’(t)—f(t)一tf’(t)=f(t)， 化简 [2f(t)一t]f’(t)=2f(t)， 即有[*] 解这个微分方程得 [*] 在f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx中令t=1，则f2(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入[*]，得[*]。所以[*]。 因此该曲线方程为 [*]
解析
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考研数学二

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