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  3. 设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证 α，Aα线性无关；

设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证 α，Aα线性无关；

admin2020-04-30  57
问题 设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα-2α=0，试证
α，Aα线性无关；
选项
答案设k1，k2，使得k1α1+k2Aα=0，若k2=0[*]k1α=0，而α≠0，所以k1=0， 若[*]是A的特征向量，这与已知矛盾．综上，可得k1=k2=0，所以α，Aα线性无关．
解析 本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件．用向量组线性无关的定义可证得α，Aα线性无关；再由A2α+Aα-2α=0有非零解确定A的特征值，由于特征值各不相同，故方阵A可对角化．
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考研数学一

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