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设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A2α+Aα-2α=0,试证 α,Aα线性无关;
设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A2α+Aα-2α=0,试证 α,Aα线性无关;
admin
2020-04-30
41
问题
设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A
2
α+Aα-2α=0,试证
α,Aα线性无关;
选项
答案
设k
1
,k
2
,使得k
1
α
1
+k
2
Aα=0,若k
2
=0[*]k
1
α=0,而α≠0,所以k
1
=0, 若[*]是A的特征向量,这与已知矛盾.综上,可得k
1
=k
2
=0,所以α,Aα线性无关.
解析
本题主要考查方阵相似对角矩阵的条件.用向量组线性无关的定义可证得α,Aα线性无关;再由A
2
α+Aα-2α=0有非零解确定A的特征值,由于特征值各不相同,故方阵A可对角化.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iIv4777K
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考研数学一
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