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下列结论正确的是( ).
下列结论正确的是( ).
admin
2021-01-12
24
问题
下列结论正确的是( ).
选项
A、设A=(α
1
,α
2
,…,α
n
),B=(β
1
,β
2
,…,β
n
)为两个同型矩阵,若矩阵A,B等价,则向量组α
1
,α
2
,…,α
n
与向量组β
1
,β
2
,…,β
n
等价
B、设A为m×n矩阵且r(A)=n,则方程组BX=0与方程组ABX=0同解
C、若矩阵A满秩,则A一定可相似对角化
D、若向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性相关,则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示
答案
B
解析
方法一:
设
,因为r(A)=r(B)=2,所以矩阵A,B等价,
但向量组
与向量组
不可相互线性表示,两个向量组不等价,(A)不对;
设A=
,显然r(A)=3,即A满秩,
因为A的特征值为λ
1
=λ
2
=λ
3
=1,而r(E—A)=2,所以A不可相似对角化,(C)不对;
设
,显然α
1
,α
2
,α
3
线性相关,且α
3
=0α
1
+0α
2
,但α
1
不可由α
2
,α
3
线性表示,(D)不对,应选(B).
方法二:
设A为m×n矩阵且r(A)=n,若BX
0
=O,则ABX
0
=O,即BX=O的解一定为ABX=O的解;
因为r(A)=n,所以AX=O只有零解,若ABX
0
=O,则BX
0
=0,即ABX=O的解一定为BX=O的解,从而BX=O与ABX=O同解,应选(B).
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考研数学二
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