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设A,B均为n阶矩阵,且A+B=AB.(1)证明A-E可逆;(2)证明AB=BA.
设A,B均为n阶矩阵,且A+B=AB.(1)证明A-E可逆;(2)证明AB=BA.
admin
2018-11-11
31
问题
设A,B均为n阶矩阵,且A+B=AB.(1)证明A-E可逆;(2)证明AB=BA.
选项
答案
证明 (1)由A+B=AB,有AB-A-B+E=E,从而(A-E)B-(A-E)=E,即(A-E)(B-E)=E,故A-E可逆,且(A-E)
-1
=B-E. (2)由(1)可知,A-E与B-E互为逆矩阵,于是由逆矩阵的定义知 (A-E)(B-E)=(B-E)(A-E),从而AB-A-B+E=BA-B-A+E.即 AB=BA.
解析
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