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设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是( ).
设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是( ).
admin
2021-07-27
65
问题
设A是4阶方阵,则下列线性方程组是同解方程组的是( ).
选项
A、Ax=0;A
2
x=0
B、A
2
x=0;A
3
x=0
C、A
3
x=0;A
4
x=0
D、A
4
x=0;A
5
x=0
答案
D
解析
证明(D)成立.A
4
x=0→A
5
x=0,现证A
5
x=0→A
4
x=0.用反证法.设A
5
x=0,但A
4
x≠0.因x,Ax,A
2
x,A
3
x,A
3
x,五个4维向量必线性相关,故存在不全为零的数k
0
,k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得k
0
x+k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0.(*) (*)式两端左乘A
4
,得k
0
A
4
x+k
1
A
5
x+k
2
A
6
x+k
3
A
7
x+k
4
A
8
x=0→k
0
A
4
x=0.因A
4
x≠0,则k
0
=0.将k
0
=0代入(*)式,得k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0.同理可证得k
1
=0,k
2
=0,k
3
=0,k
4
=0.这和已知五个4维向量线性相关矛盾,故A
5
x=0→A
4
x=0.故A
5
x=0→A
4
x=0.(D)是同解方程组,应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iTy4777K
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考研数学二
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