设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．

admin2021-07-27 43

问题设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．

选项 A、Ax=0；A²x=0
B、A²x=0；A³x=0
C、A³x=0；A⁴x=0
D、A⁴x=0；A⁵x=0

答案D

解析证明(D)成立．A⁴x=0→A⁵x=0，现证A⁵x=0→A⁴x=0．用反证法．设A⁵x=0，但A⁴x≠0．因x，Ax，A²x，A³x，A³x，五个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k₀，k₁，k₂，k₃，k₄，使得k₀x+k₁Ax+k₂A²x+k₃A³x+k₄A⁴x=0．(*) (*)式两端左乘A⁴，得k₀A⁴x+k₁A⁵x+k₂A⁶x+k₃A⁷x+k₄A⁸x=0→k₀A⁴x=0．因A⁴x≠0，则k₀=0．将k₀=0代入(*)式，得k₁Ax+k₂A²x+k₃A³x+k₄A⁴x=0．同理可证得k₁=0，k₂=0，k₃=0，k₄=0．这和已知五个4维向量线性相关矛盾，故A⁵x=0→A⁴x=0．故A⁵x=0→A⁴x=0．(D)是同解方程组，应选(D)．

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考研数学二

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