设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．

admin2021-07-27 28

问题设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )．

选项 A、Ax=0；A²x=0
B、A²x=0；A³x=0
C、A³x=0；A⁴x=0
D、A⁴x=0；A⁵x=0

答案D

解析证明(D)成立．A⁴x=0→A⁵x=0，现证A⁵x=0→A⁴x=0．用反证法．设A⁵x=0，但A⁴x≠0．因x，Ax，A²x，A³x，A³x，五个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k₀，k₁，k₂，k₃，k₄，使得k₀x+k₁Ax+k₂A²x+k₃A³x+k₄A⁴x=0．(*) (*)式两端左乘A⁴，得k₀A⁴x+k₁A⁵x+k₂A⁶x+k₃A⁷x+k₄A⁸x=0→k₀A⁴x=0．因A⁴x≠0，则k₀=0．将k₀=0代入(*)式，得k₁Ax+k₂A²x+k₃A³x+k₄A⁴x=0．同理可证得k₁=0，k₂=0，k₃=0，k₄=0．这和已知五个4维向量线性相关矛盾，故A⁵x=0→A⁴x=0．故A⁵x=0→A⁴x=0．(D)是同解方程组，应选(D)．

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考研数学二

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()是为了防止系统由于驱动气体泄漏的累积引起系统的误动作而在管路中设置的阀门，它安装在系统启动管路上。

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设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．

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