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  3. 设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

admin2018-06-12  36
问题 设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．
选项
答案3n-r
解析 由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～∧时，∧由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵∧，根据｜A｜＝Пλi就可以求出行列式｜A＋3E｜的值．
    设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα＝λα(α≠0)，则
    A2α＝λ2α，A3α＝λ3α，A4α＝λ4α．
    于是(λ4＋2λ3＋λ2＋2λ)α＝0，α≠0．
    即有λ4＋2λ3＋λ2＋2λ＝λ(λ＋2)(λ2＋1)＝0．
    因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自－2与0．那么由r(A)＝r，得到

    即矩阵A的特征值是－2(r重)，0(n－r重)．因此A＋3E的特征值是1(r重)，3(n－r重)．从而
    ｜A＋3E｜＝3n-r．
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考研数学一

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