设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

admin2018-06-12 38

问题设A是n阶实对称矩阵，满足A⁴＋2A³＋A²＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

选项

答案3^n-r

解析由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～∧时，∧由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵∧，根据｜A｜＝Пλ_i就可以求出行列式｜A＋3E｜的值．
设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα＝λα(α≠0)，则
A²α＝λ²α，A³α＝λ³α，A⁴α＝λ⁴α．
于是(λ⁴＋2λ³＋λ²＋2λ)α＝0，α≠0．
即有λ⁴＋2λ³＋λ²＋2λ＝λ(λ＋2)(λ²＋1)＝0．
因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自－2与0．那么由r(A)＝r，得到

即矩阵A的特征值是－2(r重)，0(n－r重)．因此A＋3E的特征值是1(r重)，3(n－r重)．从而
｜A＋3E｜＝3^n-r．

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考研数学一

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