设A是n阶实对称矩阵，满足A4＋2A3＋A2＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

admin2018-06-12 87

问题设A是n阶实对称矩阵，满足A⁴＋2A³＋A²＋2A＝0，若秩r(A)＝r，则行列式｜A＋3E｜＝_______．

选项

答案3^n-r

解析由A是实对称矩阵知A必可相似对角化，而当A～∧时，∧由A的n个特征值所构成．只要能求出对角矩阵∧，根据｜A｜＝Пλ_i就可以求出行列式｜A＋3E｜的值．
设λ是矩阵A的任一特征值，α是属于特征值λ的特征向量，即Aα＝λα(α≠0)，则
A²α＝λ²α，A³α＝λ³α，A⁴α＝λ⁴α．
于是(λ⁴＋2λ³＋λ²＋2λ)α＝0，α≠0．
即有λ⁴＋2λ³＋λ²＋2λ＝λ(λ＋2)(λ²＋1)＝0．
因为实对称矩阵的特征值必是实数，故A的特征值取自－2与0．那么由r(A)＝r，得到

即矩阵A的特征值是－2(r重)，0(n－r重)．因此A＋3E的特征值是1(r重)，3(n－r重)．从而
｜A＋3E｜＝3^n-r．

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考研数学一

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证明r(A)＝1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A＝abT．

设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Aχ＝b的3个解向量，且r(A)＝3，α1＝(1，2，3，4)T，α2＋α3(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Aχ＝b的通勰χ＝()

设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P＝其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

设矩阵相似，求χ，y；并求一个正交阵P，使P-1AP＝A．

设证明：行列式｜A｜＝(n＋1)an．

设曲线厂的极坐标方程是r＝eθ(0≤0≤π)，则г上与直线y＋χ＝1平行的切线的直角坐标方程是_______．

设f(u)具有连续的一阶导数，LAB为以为直径的左上半个圆弧，从A到B，其中点A(1，1)，点B(3，3)．则第二型曲线积分=________

设对一切的x，有f(x+1)=—2f(x)，且当x∈[0，1]时f(x)=x(x2一1)，讨论函数f(x)在x=0处的可导性。

用泰勒公式确定下列无穷小量当x→0时关于x的无穷小阶数：(Ⅰ)(Ⅱ)(et－1－t)2dt．

下列对国家、阶级、政党关系的表述中，正确的有()。①有政党必有阶级和国家②有阶级、国家必有政党③在当代，执政党的阶级属性与国家的性质相一致④国家、政党是阶级统治的工具

眶上裂内容物不包括

A:HbAB:HbH和HbBartC:HbFD:HbAE:HbA和HbFpH6.5磷酸盐缓冲液醋酸纤维膜电泳适合分离

以下哪项不是尿路结石对泌尿系统造成的损害()

以项目的实际资源消耗测算为基础，根据所需资源的实际价格，详细计算各项活动或各项成本组成的目标成本编制方法是()。

对于盘亏、毁损的存货，经批准后进行账务处理时，不可能涉及的借方账户是（　　）。

下列项目中，不属于其他业务收入范围的是(　　)。

以下没有语病的一句是()。

“黄山四季皆胜景，惟有寒冬景更佳”，黄山冬景以()著称。

________是我国著名板胡演奏家刘明源写作的一首民乐小品。

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