2. 考研
  3. 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2． (1)证明r(A)=2． (2)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2． (1)证明r(A)=2． (2)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

admin2020-09-25  91
问题 设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．
  (1)证明r(A)=2．
  (2)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．
选项
答案(1)设A的特征值为λ，λ，λ．因为A有三个不同的特征值，所以A可以相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得 [*] 因为λ1，λ2，λ3两两不相同，则有r(A)≥2．又因为α3=α1+2α2，所以α1，α2，α3线性相关，从而可知r(A)＜3，于是r(A)=2． (2)因为r(A)=2，所以Ax=0的基础解系含一个线性无关的解向量． 由α3=α1+2α2可得(α1，α2，α3)[*]=0，即(1，2，一1)T为Ax=0的一个基础解系．所以Ax=0的通解为x=k(1，2，一1)T(k为任意常数)． 由β=α1+α2+α3=A(1，1，1)T可得Ax=β的一个特解为(1，1，1)T． 所以Ax=β的通解为x=k(1，2，一1)T+(1，1，1)T(k为任意常数)．
解析
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考研数学三

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