首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．
admin
2014-04-16
79
问题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
．
证明向量组β，Aβ，A
2
β线性无关．
选项
答案
法一 用线性无关的定义证．假设有数k
1
，k
2
，k
3
使得k
1
β+k
2
Aβ+kA
2
β=0．由β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
及Aξ
i
=λ
i
ξ
i
，i=1，2，3．代入得k
2
(ξ
2
+ξ
2
+ξ
3
)+k
2
(λ
2
ξ
2
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
)+k
3
(λ
1
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
2
+λ
2
2
ξ
3
)=0，整理得(k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)ξ
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)ξ
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)ξ
3
=0．因ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，上式成立当且仅当[*]又λ
i
，i=1，2，3互不相同，故方程组(*)的系数行列式[*]故方程组(*)仅有零解，即k
1
=k
2
一k
3
=0，所以β，Aβ，A
2
β线性无关． 法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因[β，Aβ，A
2
β]=[ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
，λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
1
2
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
+λ
3
2
ξ
3
][*]其中[*]所以C是可逆阵．故r[β
1
，Aβ，A
2
β]=r(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=3．因此，β，Aβ，A
2
β线性无关．(请读者用等价向量组或初等变换自行证明)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iX34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设矩阵则A与B()
-3
(09年)设α＝(1，1，1)T，β＝(1，0，k)T．若矩阵αβT相似于，则k＝_______．
(2012年)=________
[2003年]设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是________．
(16年)已知矩阵A＝(Ⅰ)求A99；(Ⅱ)设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA，记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
[2003年]设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
设f(x)∈c[a，6]，在(a，b)内二阶可导(Ⅰ)若fA=0，fB＜0，f’+A＞0．证明：存在ζ∈(a，6)，使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0；(Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f”
微分方程xy′+2y=xlnx满足的特解为__________，
设则
随机试题
李某自费学医开业，因违反诊疗护理常规致使病人死亡，追究其刑事责任的机关是
女，48岁。发作性剑突下及右上腹绞痛3天，伴有寒战，半年前有类似发作史。查体：T39℃，P110次／分，BP140／85mmHg，血常规检查：WBC：12×109／L，N0．8，意识清楚，皮肤、巩膜轻度黄染，右肋缘下触及增大的胆囊、触痛。该患者
某患者，近期身体不适，经诊断为肝阴不足导致的肝阳偏亢，应采用的治法是()。
()是保证公开募集基金稳健运行、保护基金份额持有人利益的必要条件。
影响期货价格的主要因素包括()。
关于个人理财业务人员与一般产品销售人员，下列说法中，错误的是()。
秉公执法，一是严格履行《人民警察法》规定的各项职责，尽职尽责，恪尽职守；二是正确行使《人民警察法》规定的各项权力，决不以权谋私；三是执法不阿，敢于同一切不正之风作斗争。()
东北某省出台文件，根据基层反映开会多、文件多的问题要求全省缩减会议。其中3月和8月为“无会月”。你怎么看待?
C
A、Shediedoftirednessforadvisingtheemperor.B、Shediedofgivingbirthtothe15thchild.C、Shediedofheartdisease.D、S
最新回复
(
0
)
