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设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3． 证明向量组β，Aβ，A2β线性无关．
admin
2014-04-16
47
问题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
，令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
．
证明向量组β，Aβ，A
2
β线性无关．
选项
答案
法一 用线性无关的定义证．假设有数k
1
，k
2
，k
3
使得k
1
β+k
2
Aβ+kA
2
β=0．由β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
及Aξ
i
=λ
i
ξ
i
，i=1，2，3．代入得k
2
(ξ
2
+ξ
2
+ξ
3
)+k
2
(λ
2
ξ
2
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
)+k
3
(λ
1
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
2
+λ
2
2
ξ
3
)=0，整理得(k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)ξ
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)ξ
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)ξ
3
=0．因ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，上式成立当且仅当[*]又λ
i
，i=1，2，3互不相同，故方程组(*)的系数行列式[*]故方程组(*)仅有零解，即k
1
=k
2
一k
3
=0，所以β，Aβ，A
2
β线性无关． 法二 用等价向量组、初等变换、秩等论证．因[β，Aβ，A
2
β]=[ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
，λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
1
2
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
+λ
3
2
ξ
3
][*]其中[*]所以C是可逆阵．故r[β
1
，Aβ，A
2
β]=r(ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
)=3．因此，β，Aβ，A
2
β线性无关．(请读者用等价向量组或初等变换自行证明)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iX34777K
0
考研数学二
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