设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’"(ξ)=9.

admin2014-11-26  41

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且f(1)=1,f(2)=6.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’"(ξ)=9.

选项

答案由[*]得f(0)=0,f’(0)=2.作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,使得P(0)=0,P’(0)=2,P(1)=1,P(2)=6, [*] 则φ(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且φ(0)= φ(1)=φ(2)=0,因此φ(x)在[0,1]和[1,2]上都满足罗尔定理的条件,则存在ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0.又φ’(0)=0,由罗尔定理,存在η1∈(0,ξ1),η2∈(ξ12),使得φ"(η1)=φ"(η2)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(η1,η2)[*](0,2),使得φ"(ξ)=0.而φ"’(x)=f"’(x)一9,所以f"’(ξ)=9.

解析
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