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设矩阵A的伴随矩阵A*=,且 ABA-1=BA-1+3E. ① 求矩阵B.
设矩阵A的伴随矩阵A*=,且 ABA-1=BA-1+3E. ① 求矩阵B.
admin
2016-10-20
75
问题
设矩阵A的伴随矩阵A
*
=
,且
ABA
-1
=BA
-1
+3E. ①
求矩阵B.
选项
答案
由|A
*
|=|A|
n-1
,有|A|
3
=8,得|A|=2. 又因(A-E)BA
-1
=3E,有(A-E)B=3A,左乘A
*
,得 (|A|E-A
*
)B=3|A|E,即(2E-A
*
)B=6E. 故B=6(2E-A
*
)
-1
. [*]
解析
对矩阵方程①化简,右乘A得
AB-B=3A
(A-E)B=3A.
由于已知条件是A
*
,可继续变形,用A
*
左乘上式并用关系式AA
*
=A
*
A=|A|E得
B=3|A|(|A|E-A
*
)
-1
.
因此,应先求出|A|,再求逆.
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考研数学三
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