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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b) >0 试证:对存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=kf(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b) >0 试证:对存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=kf(ξ).
admin
2020-03-05
3
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)·f(b) >0
试证:对
存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=kf(ξ).
选项
答案
令F(x)=e
-kx
f(x),则由题设可知,F(x)在[a,b]上连续.不妨假定 f(a)>0,于是有 f(b)>0,[*] 由e
-kx
>0可知,F(a)0,[*]F(b)>0,由介值定理,存在点[*]使得F(x
1
)=F(x
2
)=0.所以F(x)在[x
1
,x
2
]上连续,在(x
1
,x
2
)内可导,且F(x
1
)=F(x
2
)=0.由洛尔定理,存在点ξ∈(x
1
,x
2
)[*](a,b),使得F’(ξ)=0,即e
-kξ
[f’(ξ)一 f(ξ)]=0,故有 f’(ξ)一kf(ξ)=0.
解析
欲证存在点ξ∈(a,b),使得 f’(ξ)一 kf(ξ)=0,即e
-kξ
[f’(ξ)一kf(ξ)]=0,即 [e
-kx
f(x)]’|
x=ξ
=0.
可作辅助函数:F(x)=e
-kx
f(x),用介值定理和洛尔定理证明.
本题所构造的辅助函数F(x)=e
-kx
f(x),不满足洛尔定理的第三个条件.于是利用介值定理再次构造使用洛尔定理的辅助区间[x
1
,x
2
],从而为用洛尔定理解决问题提供了条件.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/irS4777K
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考研数学一
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