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[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0. 试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0. 试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2019-04-08
46
问题
[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0, l
2
:bx+2cy+3a=0, l
3
:cx+2ay+3b=0.
试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
先证必要性.设三直线交于一点,则二元线性方程组 [*] 有唯一解,故其系数矩阵[*]与其增广矩阵[*]的秩为2,且[*] 由于 [*]=6(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
], 又l
1
,l
2
,l
3
是三条不同直线,故a=b=c不成立.因而(a一b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0(或者如果a=b=c,则三条直线重合,从而有无穷多个交点与交点唯一矛盾),故a+b+c=0. 下证充分性.若a+b+c=0,则c=一(a+b),且由必要性的证明中知[*],故秩[*]. 又系数矩阵A中有一个二阶子式 [*]=2(ac一b
2
)=2[a(a+b)+b
2
]=-2[(a+b/2)
2
+3b
2
/4]≠0, 故秩(A)=2.于是秩(A)=[*]=2.因而方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
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考研数学一
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