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设n为正整数,f(x)=xn+x-1. 对于(I)中的xn,证明存在并求此极限.
设n为正整数,f(x)=xn+x-1. 对于(I)中的xn,证明存在并求此极限.
admin
2018-07-23
49
问题
设n为正整数,f(x)=x
n
+x-1.
对于(I)中的x
n
,证明
存在并求此极限.
选项
答案
下面证数列{x
n
}单调增加.由 x
n+1
n+1
+ x
n+1
-1=0 与x
n
n
+ x
n
-1=0 两式相减,得 x
n+1
n+1
-x
n
n
+(x
n-1
-x
n
)=0. 但因0<x
n-1
<1,所以x
n+1
n
> x
n+1
n
·x
n+1
=x
n-1
n-1
,于是有 0=x
n+1
n+1
-x
n
n
+(x
n+1
-x
n
)
n+1
n
-x
n
n
+(x
n+1
-x
n
) = (x
n+1
-x
n
)(x
n+1
n-1
+ x
n+2
n-2
x
n
+…+x
n
n-1
)+(x
n+1
-x
n
) =(x
n+1
-x
n
)(x
n+1
n-1
+ x
n+2
n-2
x
n
+…+x
n
n-1
+1). 上式第2个括号内为正,所以x
n+1
-x
n
>0,即数列{x
n
}严格单调增加且有上界1,所以 [*] 用反证法,如果0<a<1,将 1-x
n
=x
n
<a
n
两边令x→∞取极限,得 1-a≤0, 解得a≥1,与反证法的假设矛盾,所以a=1.证毕.
解析
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考研数学二
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