2. 考研
  3. 设n为正整数，f(x)=xn+x－1． 对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．

设n为正整数，f(x)=xn+x－1． 对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．

admin2018-07-23  31
问题 设n为正整数，f(x)=xn+x－1．
对于(I)中的xn，证明存在并求此极限．
选项
答案下面证数列{xn}单调增加．由 xn+1n+1+ xn+1－1=0 与xnn+ xn－1=0 两式相减，得 xn+1n+1－xnn+(xn－1－xn)=0． 但因0＜xn－1＜1，所以xn+1n＞ xn+1n·xn+1=xn－1n－1，于是有 0=xn+1n+1－xnn+(xn+1－xn) n+1n－xnn+(xn+1－xn) = (xn+1－xn)(xn+1n－1+ xn+2n－2xn+…+xnn－1)+(xn+1－xn) =(xn+1－xn)(xn+1n－1+ xn+2n－2xn+…+xnn－1+1)． 上式第2个括号内为正，所以xn+1－xn＞0，即数列{xn}严格单调增加且有上界1，所以 [*] 用反证法，如果0＜a＜1，将 1－xn=xn＜an 两边令x→∞取极限，得 1－a≤0， 解得a≥1，与反证法的假设矛盾，所以a=1．证毕．
解析
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考研数学二

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