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设A为n阶矩阵,A11≠0.证明:非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*,α2b=0.
设A为n阶矩阵,A11≠0.证明:非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*,α2b=0.
admin
2015-06-30
82
问题
设A为n阶矩阵,A
11
≠0.证明:非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A
*
,α
2
b=0.
选项
答案
设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解,则r(A)
*b=A
*
AX=|A|X=0. 反之,设A
*
b=0,因为b≠0,所以方程组A
*
X=0有非零解,从而r(A
*
)
11≠0,所以r(A
*
)=1,且r(A)=n-1. 因为r(A
*
)=1,所以方程组A
*
X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量,而A
*
A=0,所以A的列向量组α
1
,α
2
,…,α
n
为方程组A
*
X=0的一组解向量. 由A
11
≠0,得α
2
,…,α
n
线性无关,所以α
2
,…,α
n
是方程组A
*
X=0的基础解系. 因为A
*
b=0,所以b可由α
2
,…,α
n
线性表示,也可由α
1
,α
2
,…,α
n
线性表示,故r(A)=r([*])=n-1
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iu34777K
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考研数学二
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