设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．

admin2022-04-07 115

问题设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα₁=α₂+α₃，Aα₂=α₁+α₃，Aα₃=α₁+α₂．
(1)求矩阵A的特征值；
(2)判断矩阵A可否对角化．

选项

答案(1)因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以α₁+α₂+α₃≠0，由A(α₁+α₂+α₃)=2(α₁，α₂，α₃)，得A的一个特征值为λ₁=2；又由A(α₁-α₂)=-(α₁-α₂)，A(α₂-α₃)=-(α₂-α₃)，得A的另一个特征值为-1．因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以α₁-α₂与α₂-α₃也线性无关，所以λ₂=-1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，-1，-1． (2)因为α₁-α₂，α₂-α₃为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

解析

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考研数学三

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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．

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