2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．

admin2022-04-07  85
问题 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为3个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．
(1)求矩阵A的特征值；
(2)判断矩阵A可否对角化．
选项
答案(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0， 由A(α1+α2+α3)=2(α1，α2，α3)，得A的一个特征值为λ1=2； 又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一个特征值为-1． 因为α1，α2，α3线性无关，所以α1-α2与α2-α3也线性无关，所以λ2=-1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，-1，-1． (2)因为α1-α2，α2-α3为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学三

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