设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akχ＝0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．

admin2020-03-05 18

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kχ＝0有解向量α，且A^k-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

选项

答案设有常数λ₀，λ₁，λ_k-1，使得 λ₀α₁＋λ₁Aα＋…＋λ_k-1A^k-1α＝0，则有A^k-1(λ₀α＋λ₁Aα＋…＋λ_k-1A^k-1α)＝0，从而得到λ₀A^k-1α＝0．由题设A^k-1α≠0，所以λ₀＝0．类似地可以证明λ₁＝λ₂＝…＝λ_k-1＝0，因此向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的．

解析

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