(2001年试题,九)设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,β3=t1α1+t2α1,其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs,也为Ax=0的一个基

admin2014-05-20  31

问题 (2001年试题,九)设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…,β3=t1α1+t2α1,其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么关系时,β1,β2,…,βs,也为Ax=0的一个基础解系.

选项

答案根据题设βi(i=1,2,…,s)是α1,α2……αs的线性组合,因此βi(i=l,2,…,s)都是Ax=0的解,即Aβi=0(i=1,2,…,s)题目待求结论要求βi(i=1,2,…,s)也是Ax=0的基础解系,结合已知,这等价于要求β1β2……βt,线性无关,于是设c1β1+c2β2+…+csβs=0将已知βi(i=1,2,…,s)由αi(i=l,2,…,s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t1c1+t2cs1+(t2c1+t1c22+…+(t2cs-1一1+t1css=0因为α1,α2……αs是线性无关的,因此得到关于c1,c2……cs的方程组如下[*]只要该方程组只有零解,即可得出t1,t2应满足的关系,该方程组行列式为[*]因此当s为偶数时,|t1|≠|t2|;当s为奇数时,t1≠一t2,有β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系.

解析 本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算,综合性很强.
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