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  3. 计算I＝，其中： (Ⅰ)∑为球面z＝(a＞0)的上侧； (Ⅱ)∑为椭球面＝1(z≥0)的上侧。

计算I＝，其中： (Ⅰ)∑为球面z＝(a＞0)的上侧； (Ⅱ)∑为椭球面＝1(z≥0)的上侧。

admin2017-11-30  25
问题 计算I＝，其中：
    (Ⅰ)∑为球面z＝(a＞0)的上侧；
    (Ⅱ)∑为椭球面＝1(z≥0)的上侧。
选项
答案(Ⅰ)积分曲面∑为球面，将z＝[*](a＞0)代入，有 [*] 曲面∑的法向量为(χ，y，z)，故有 [*] 整理可得dydz＝[*]dχdy，dzdχ＝[*]dχdy， 故[*] 其中Dχy＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤a2}为球面∑在χoy面的投影，由于曲面方向取上侧，故 [*] (Ⅱ)为了避免积分区域包含原点，在(0，0．0)附近取球面∑1：z＝[*]，其中半径a为足够小的正数，方向取内侧，在该球面以外的区域取平面乏∑2＝0，[*]≤1，方向向下。 [*] 其中。第一个曲面积分采用高斯公式，题中所给方向为正向，记Ω为封闭曲面∑＋∑1＋∑2所围区域， [*] 由(Ⅰ)中结论，可知 [*]
解析
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考研数学一

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