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计算I=,其中: (Ⅰ)∑为球面z=(a>0)的上侧; (Ⅱ)∑为椭球面=1(z≥0)的上侧。
计算I=,其中: (Ⅰ)∑为球面z=(a>0)的上侧; (Ⅱ)∑为椭球面=1(z≥0)的上侧。
admin
2017-11-30
35
问题
计算I=
,其中:
(Ⅰ)∑为球面z=
(a>0)的上侧;
(Ⅱ)∑为椭球面
=1(z≥0)的上侧。
选项
答案
(Ⅰ)积分曲面∑为球面,将z=[*](a>0)代入,有 [*] 曲面∑的法向量为(χ,y,z),故有 [*] 整理可得dydz=[*]dχdy,dzdχ=[*]dχdy, 故[*] 其中D
χy
={(χ,y)|χ
2
+y
2
≤a
2
}为球面∑在χoy面的投影,由于曲面方向取上侧,故 [*] (Ⅱ)为了避免积分区域包含原点,在(0,0.0)附近取球面∑
1
:z=[*],其中半径a为足够小的正数,方向取内侧,在该球面以外的区域取平面乏∑
2
=0,[*]≤1,方向向下。 [*] 其中。第一个曲面积分采用高斯公式,题中所给方向为正向,记Ω为封闭曲面∑+∑
1
+∑
2
所围区域, [*] 由(Ⅰ)中结论,可知 [*]
解析
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考研数学一
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