设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

admin2017-04-24 49

问题设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．

答案A

解析设A按列分块为A=[α₁ α₂ … α_n]，由B≠0知B至少有一列非零，设B的第j列(b_1j，b_2j，…，b_nj)^T≠0，则AB的第j列为
[α₁ α₂ … α_n]

即 b_1jα₁+b_2jα₂+…+b_njα_n=0，因为常数b_1j，b_2j，…，b_nj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由A=0取转置得B^TA^T=0，利用已证的结果可知B^T的列向量组——即B的行向量组线性相关，故(A)正确．
设B按列分块为B=[β₁  β₂ …  β_p]，则由
O=AB=A[β₁  β₂  …β_p]=[Aβ₁  Aβ₂  …Aβ_p]
得Aβ_j=0，j=1，2，…，β，即矩阵B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，因B≠0，知B至少有一列非零，故方程组Ax=0有非零解，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关的推导同解1．
注释  如果将B按行分块为B=

，则AB =0的第i行为[a_i1 a_i2 … a_ln]

=a_i1γ₁+a_i2γ₁+…+a_lnγ_n=0，由此及A≠0也可推出B的行向量组线性相关．本题所用的关于乘积矩阵的按列(行)表示方法是一种重要方法，在讨论矩阵的秩、线性方程组及向量的有关问题中常常用到．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/iyt4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

考研数学二

设f(x)在[a，b]上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．

设f(x)二阶可导，x=1为f(x)的极值点，且f(x)满足f"(x)+f’(x)=1+x-ex，则x=1为f(x)的________(填极大值点或极小值点)．

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则()．

设y=ex是微分方程xy’+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解。

求以y=C1ex+C2e-x－x为通解的微分方程(C1、C2为任意常数）。

设在点x＝1处可导，求a，b的值．

试确定常数A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小．

设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求n的值；

已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．

()“使学员了解、熟悉、掌握、能……”是教学目的常用的词汇。

关于眼震颤的叙述，错误的是

抽样调查中，常用的基本抽样方法不包括

以下为改变药物的不良味道而设计的前体药物是

初产妇，第一胎，妊娠38周住院待产期间，突然发现胎心率180次／分，经处理无好转，拟紧急剖宫产术，术前准备正确的是

依据《救助管理办法》及相关规定，下列关于流浪乞讨人员救助程序的说法，恰当的是()。

被服管理的原则是()。

管理的职能包括：计划、组织、人事、领导和控制。()

Theprofessor______aninvitationtoallthestudentstocometotea.

A、Stayathome.B、Holdparties.C、Dopart-timejobs.D、Travel.CWhatdoesthemanwanttodothissummer?由选项推测本题与做某事有关。本题关键句为“I