设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

admin2017-04-24 75

问题设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有

选项 A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．
C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．
D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．

答案A

解析设A按列分块为A=[α₁ α₂ … α_n]，由B≠0知B至少有一列非零，设B的第j列(b_1j，b_2j，…，b_nj)^T≠0，则AB的第j列为
[α₁ α₂ … α_n]

即 b_1jα₁+b_2jα₂+…+b_njα_n=0，因为常数b_1j，b_2j，…，b_nj不全为零，故由上式知A的列向量组线性相关，再由A=0取转置得B^TA^T=0，利用已证的结果可知B^T的列向量组——即B的行向量组线性相关，故(A)正确．
设B按列分块为B=[β₁  β₂ …  β_p]，则由
O=AB=A[β₁  β₂  …β_p]=[Aβ₁  Aβ₂  …Aβ_p]
得Aβ_j=0，j=1，2，…，β，即矩阵B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，因B≠0，知B至少有一列非零，故方程组Ax=0有非零解，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关的推导同解1．
注释  如果将B按行分块为B=

，则AB =0的第i行为[a_i1 a_i2 … a_ln]

=a_i1γ₁+a_i2γ₁+…+a_lnγ_n=0，由此及A≠0也可推出B的行向量组线性相关．本题所用的关于乘积矩阵的按列(行)表示方法是一种重要方法，在讨论矩阵的秩、线性方程组及向量的有关问题中常常用到．

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