2. 考研
  3. 设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于∫0xf(t)dt，求f(x)的一般表达式．

设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于∫0xf(t)dt，求f(x)的一般表达式．

admin2022-07-21  13
问题 设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于∫0xf(t)dt，求f(x)的一般表达式．
选项
答案曲线y=f(x)上点[x，f(x)]处的切线方程为Y-f(x)=f’(x)(X-x)． 令X=0，得Y=f(x)-xf’(x)，由题意有方程f(x)-xf’(x)=[*]∫0xf(t)dt，两边乘以x，得xf(x)-x2f’(x)=∫0xf(t)dt． 再求导，得xf"(x)+f’(x)=0，亦即[*][xf’(x)]=0，故xf’(x)=C1．即f’(x)=C1/x． f(x)=C1ln｜x｜+C2=C1lnx+C2(x＞0)
解析
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考研数学一

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