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设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于∫0xf(t)dt,求f(x)的一般表达式.
设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于∫0xf(t)dt,求f(x)的一般表达式.
admin
2022-07-21
13
问题
设对任意x>0,曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
∫
0
x
f(t)dt,求f(x)的一般表达式.
选项
答案
曲线y=f(x)上点[x,f(x)]处的切线方程为Y-f(x)=f’(x)(X-x). 令X=0,得Y=f(x)-xf’(x),由题意有方程f(x)-xf’(x)=[*]∫
0
x
f(t)dt,两边乘以x,得xf(x)-x
2
f’(x)=∫
0
x
f(t)dt. 再求导,得xf"(x)+f’(x)=0,亦即[*][xf’(x)]=0,故xf’(x)=C
1
.即f’(x)=C
1
/x. f(x)=C
1
ln|x|+C
2
=C
1
lnx+C
2
(x>0)
解析
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0
考研数学一
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