设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）

admin2020-03-24 68

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）

选项 A、α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁
B、α₁一α₂，α₂+α₃，α₃+α₁
C、α₁+α₂，3α₁一5α₂，5α₁+9α₂
D、α₁+α₂，2α₁+3α₂+4α₃，α₁—α₂—2α₃

答案D

解析通过已知选项可知
（α₁一α₂）+（α₂一α₃）+（α₃一α₁）=0，
（α₁一α₂）+（α₂+α₃）一（α₃+α₁）=0，
因此选项A、B中的向量组均线性相关。
对于选项C，可设β₁=α₁+α₂，β₂=3α₁一5α₂，β₃=5α₁+9α₂，即β₁，β₂，β₃三个向量可由α₁，α₂两个向量线性表示，所以β₁，β₂，β₃必线性相关，即α₁+α₂，3α₁一5α₂，5α₁+9α₂必线性相关。
因而用排除法可知应选D。
利用矩阵运算。
选项A中，（α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁）=（α₁，α₂，α₃）

因为

所以α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁线性相关。
同理，可知选项B和C中的向量组也线性相关。选项D中的向量组线性无关。故选D。

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考研数学三

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