求正交变换化二次型x12+x22+x32—4x1x2—4x2x3—4x1x3为标准形．

admin2018-06-14 60

问题求正交变换化二次型x₁²+x₂²+x₃²—4x₁x₂—4x₂x₃—4x₁x₃为标准形．

选项

答案二次型矩阵A=[*]，由特征多项式｜λE—A｜=[*]=(λ+3)(λ一3)²，得特征值为 λ₁=λ₂=3，λ₃=一3．由(3E—A)x=0得基础解系α₁=(一1，1，0)^T，α₂=(一1，O，1)^T，即λ=3的特征向量是α₁，α₂．由(一3E一A)x=0得基础解系α₃=(1，1，1)^T．对α₁，α₂经Schmidt正交化，有 β₁=α₁， β₂=α₂一[*]。单位化，得 [*] 那么，令x=Qy，其中Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则有f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=y^T[*]y=3y₁²+3y₂²一3y₃²．

解析

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考研数学三

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