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设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0.证明:存在惟一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时,λ1f(h) +λ2f(2h) +λ3f(3h) 一f(0)是比h2高阶的无穷小.
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0.证明:存在惟一的一组实数λ1,λ2,λ3,使得当h→0时,λ1f(h) +λ2f(2h) +λ3f(3h) 一f(0)是比h2高阶的无穷小.
admin
2017-04-24
55
问题
设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且f(0)≠0,f’(0)≠0,f"(0)≠0.证明:存在惟一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0时,λ
1
f(h) +λ
2
f(2h) +λ
3
f(3h) 一f(0)是比h
2
高阶的无穷小.
选项
答案
只需证存在惟一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使 [*] 由题设和洛必达法则,从 [*] 知,λ
1
,λ
2
,λ
3
应满足方程组 [*] 因为系数行列式 [*] 所以上述方程组的解存在且惟一,即存在惟一的一组实数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得当h→0时,λ
1
f(h)+λ
2
f(2h)+λ
3
f(3h) 一f(0)是比h
2
高阶的无穷小.
解析
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考研数学二
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[*]
[*]
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