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已知函数f(u)具有二阶导数,且f’(0)=1,函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定。设z=f(lny-sinx),求dz/dx|x=0,d2z/dx2|x=0。
已知函数f(u)具有二阶导数,且f’(0)=1,函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定。设z=f(lny-sinx),求dz/dx|x=0,d2z/dx2|x=0。
admin
2018-04-14
37
问题
已知函数f(u)具有二阶导数,且f’(0)=1,函数y=y(x)由方程y-xe
y-1
=1所确定。设z=f(lny-sinx),求dz/dx|
x=0
,d
2
z/dx
2
|
x=0
。
选项
答案
在y-xe
y-1
=1中,令x=0,得y=1,即y(0)=1。 y-xe
y-1
=1两边对x求导,得y’-e
y-1
-xe
y-1
y’=0。把x=0,y=1代入得y’|
x=0
=1。 在一阶导函数两边继续对x求导,得(2-y)y"-(y-1)y’
2
-2e
y-1
y’=0。再把x=0,y=1,y’=1代入得,y"|
x=0
=2。 dz/dx=f’(lny-sinx)([*]-cosx),(1) 把x=0,y=1,y’=1代入上式,得dz/dx|
x=0
=0 在(1)式左右两端关于x求导,得 d
2
z/dx
2
=f"(lny-sinx)([*]-cosx)
2
+f’(lny-sinx)[-[*]+sinx], 把x=0,y=1,y’=1,y"=2代入上式,得=d
2
z/dx
2
|
x=0
=1。
解析
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考研数学二
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