已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y－xey－1=1所确定。设z=f(lny－sinx)，求dz／dx|x=0，d2z／dx2|x=0。

admin2018-04-14 48

问题已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y－xe^y－1=1所确定。设z=f(lny－sinx)，求dz／dx|_x=0，d²z／dx²|_x=0。

选项

答案在y－xe^y－1=1中，令x=0，得y=1，即y(0)=1。 y－xe^y－1=1两边对x求导，得y’－e^y－1－xe^y－1y’=0。把x=0，y=1代入得y’|_x=0=1。在一阶导函数两边继续对x求导，得(2－y)y"－(y－1)y’²－2e^y－1y’=0。再把x=0，y=1，y’=1代入得，y"|_x=0=2。 dz／dx=f’(lny－sinx)([*]－cosx)，(1) 把x=0，y=1，y’=1代入上式，得dz／dx|_x=0=0 在(1)式左右两端关于x求导，得 d²z／dx²=f"(lny－sinx)([*]－cosx)²+f’(lny－sinx)[－[*]+sinx]，把x=0，y=1，y’=1，y"=2代入上式，得=d²z／dx²|_x=0=1。

解析

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考研数学二

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已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y－xey－1=1所确定。设z=f(lny－sinx)，求dz／dx|x=0，d2z／dx2|x=0。

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