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设A,B是二随机事件;随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
设A,B是二随机事件;随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
admin
2020-01-12
65
问题
设A,B是二随机事件;随机变量
试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
选项
答案
由题设,记P(A)=p
1
,则P(X=1)=p
1
,从而P(X=-1)=1-p
1
. 记P(B)=p
2
,则P(Y=1)=p
2
,且P(Y=-1)=1-p
2
. 因此有E(X)=p
1
-(1-p
1
)=2p
1
-1,E(y)=p
2
-(1-p
2
)=2p
2
-1. 由于X,Y的取值只能为1和-1, 从而P(XY=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1) =P(AB)=P(AB)=2P(AB)-p
1
-p
2
+1, P(XY=-1)=1-[2P(AB)-p
1
-p
2
+1]=1-2P(AB)+p
1
+p
2
-1=p
1
+p
2
-2P(AB), 所以E(XY)=2P(AB)-p
1
-p
2
+1-[p
1
+p
2
-2P(AB)] =2P(AB)-p
1
-p
2
+1-p
1
-p
2
+2P(AB)=4P(AB)-2p
1
-2p
2
+1, 因此cov(X,Y)=E(XV)-E(X)*E(Y)=4P(AB)-2p
1
-2p
1
+1-(2p
1
-1)(2p
2
-1) =4P(AB)-2p
1
-2p
2
+1-4p
1
P
2
+2p
1
+2p
2
-1 =4P(AB)-4p
1
P
2
=4[P(AB)-P(A)P(B)], 显然cov(XY)=0[*]P(AB)=P(A)P(B), 即X与Y不相关的充要条件是A与B相互独立.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jDD4777K
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