首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0, 试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0, 试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。
admin
2019-03-21
47
问题
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且
f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0,
试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。
选项
答案
首先证明存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0。 方法一:用零点定理。主要是要证明f(x)在(a,b)有正值点与负值点。不妨设 f’(a)>0,f’(b)>0。 由[*]=f’
+
(a)=f’(a)>0与极限的局部保号性,知在x=a的某右邻域,[*]>0,从而f(x)>0,因而存在x
1
,b>x
1
>a,f(x
1
)>0;类似地,由f’(b)>0可证存在x
2
,x
1
<x
2
<b,f(x
2
)<0。由零点定理,存在ξ∈(x
1
,x
2
)[*](a,b),使f(ξ)=0。 方法二:反证法。假设在(a,b)内f(x)≠0,则由f(x)的连续性可得f(x)>0,或f(x)<0,不妨设f(x)>0。由导数定义与极限局部保号性, f’(a)=f’
+
(a) [*] f’(b)=f’
-
(b) [*] 从而f’(a)f’(b)≤0,与f’(a)f’(b)>0矛盾。 其次,证明存在η∈(a,b),f"(η)=0。 由于f(a)=f(ξ)=f(b)=0,根据罗尔定理,存在η
1
∈(a,ξ),η
2
∈(ξ,b),使f’(η
1
)=f’(η
2
)=0;又由罗尔定理, η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),f"(η)=0。 注:由f’(x
0
)>0可得:在(x
0
-δ,x
0
)上,f(x)<f(x
0
);在(x
0
,x
0
+δ)上,f(x)>f(x
0
)。由f’(x
0
)>0得不到f(x)在(x
0
-δ,x
0
+δ)单调增的结果。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/jFV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
求下列函数的导数y’:
计算下列二重积分:(Ⅰ)xydσ,其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域;(Ⅱ)xydσ,其中D是由曲线y=,x2+(y-1)2=1与y轴围成的在右上方的部分.
设D是由曲线=1(a>0,b>0)与x轴,y轴围成的区域,求I=.
设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.
设a>0,f(x)在(-∞,+∞)上有连续导数,求极限
已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+6)T,β=(1,0,2,b)T,问a,b取何值时,(Ⅰ)β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1,α2,α3,α4线性表
给定向量组(Ⅰ)α1=(1,0,2)T,α2=(1,1,3)T,α3=(1,-1,a+2)T和(Ⅱ)β1=(1,2,a+3)T,β2=(2,1,a+6)T,β3=(2,1,a+4)T.当a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价?a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价?
已知齐次方程组(Ⅰ)解都满足方程x1+x2+x3=0,求a和方程组的通解.
某湖泊的水量为V1,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6,流入湖泊内不含A的水量为V/6,流出湖泊的水量为V/3.已知1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排人湖泊中含A污水的浓度不超过m0/V.问至多
在t=0时,两只桶内各装10L的盐水,盐的浓度为15g/L,用管子以2L/min的速度将净水输入到第一只桶内,搅拌均匀后的混合液又由管子以2L/min的速度被输送到第二只桶内,再将混合液搅拌均匀,然后用1L/min的速度输出.求在任意时刻t>0,从第二只桶
随机试题
遇高速公路限速标志标明的车速与车道行驶车速的规定不一致的,应按照车道行驶规定的车速行驶。
PC机配有多种类型的I/O接口。下列关于串行接口的叙述,正确的是_______。
Iwouldn’tgetsoangryifyou______moreworkdone.
Almosteveryonehasahobby.Ahobbycanbe【C1】______peopleliketodointheirsparetime.Ahobbycan【C2】______themwithinter
以下有关皮肤采血,说法错误的是
家长带5岁孩子来做儿童保健咨询,提出以下几项有关重点保健内容,你认为哪项不正确
当钢筋的品种、级别或规格需作变更时,应()。
摇臂钻床与立式钻床相比,其主要优点是()。
18世纪末19世纪初的英国经济学家马尔萨斯认为,生活资料是按照算术级增长的,人口是按照几何级增长的。由于人口的增长速度大大超过生活资料的增长速度,因而用不了多久,就会出现僧多粥少的局面,使饥饿、贫困、失业不可避免。这一理论的错误在于
A、 B、 C、 B[A]是garage,[B]是zoo,[C]是school。
最新回复
(
0
)