2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0， 试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0。

设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且 f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0， 试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0。

admin2019-03-21  41
问题 设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且
f(a)=f(b)=0，f’(a)f’(b)＞0，
试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0。
选项
答案首先证明存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0。 方法一：用零点定理。主要是要证明f(x)在(a，b)有正值点与负值点。不妨设 f’(a)＞0，f’(b)＞0。 由[*]=f’+(a)=f’(a)＞0与极限的局部保号性，知在x=a的某右邻域，[*]＞0，从而f(x)＞0，因而存在x1，b＞x1＞a，f(x1)＞0；类似地，由f’(b)＞0可证存在x2，x1＜x2＜b，f(x2)＜0。由零点定理，存在ξ∈(x1，x2)[*](a，b)，使f(ξ)=0。 方法二：反证法。假设在(a，b)内f(x)≠0，则由f(x)的连续性可得f(x)＞0，或f(x)＜0，不妨设f(x)＞0。由导数定义与极限局部保号性， f’(a)=f’+(a) [*] f’(b)=f’－(b) [*] 从而f’(a)f’(b)≤0，与f’(a)f’(b)＞0矛盾。 其次，证明存在η∈(a，b)，f"(η)=0。 由于f(a)=f(ξ)=f(b)=0，根据罗尔定理，存在η1∈(a，ξ)，η2∈(ξ，b)，使f’(η1)=f’(η2)=0；又由罗尔定理， η∈(η1，η2)[*](a，b)，f"(η)=0。 注：由f’(x0)＞0可得：在(x0－δ，x0)上，f(x)＜f(x0)；在(x0，x0+δ)上，f(x)＞f(x0)。由f’(x0)＞0得不到f(x)在(x0－δ，x0+δ)单调增的结果。
解析
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考研数学二

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