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设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0, 试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且 f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0, 试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。
admin
2019-03-21
40
问题
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且
f(a)=f(b)=0,f’(a)f’(b)>0,
试证明:存在ξ∈(a,b)和η∈(a,b),使f(ξ)=0及f"(η)=0。
选项
答案
首先证明存在ξ∈(a,b),使f(ξ)=0。 方法一:用零点定理。主要是要证明f(x)在(a,b)有正值点与负值点。不妨设 f’(a)>0,f’(b)>0。 由[*]=f’
+
(a)=f’(a)>0与极限的局部保号性,知在x=a的某右邻域,[*]>0,从而f(x)>0,因而存在x
1
,b>x
1
>a,f(x
1
)>0;类似地,由f’(b)>0可证存在x
2
,x
1
<x
2
<b,f(x
2
)<0。由零点定理,存在ξ∈(x
1
,x
2
)[*](a,b),使f(ξ)=0。 方法二:反证法。假设在(a,b)内f(x)≠0,则由f(x)的连续性可得f(x)>0,或f(x)<0,不妨设f(x)>0。由导数定义与极限局部保号性, f’(a)=f’
+
(a) [*] f’(b)=f’
-
(b) [*] 从而f’(a)f’(b)≤0,与f’(a)f’(b)>0矛盾。 其次,证明存在η∈(a,b),f"(η)=0。 由于f(a)=f(ξ)=f(b)=0,根据罗尔定理,存在η
1
∈(a,ξ),η
2
∈(ξ,b),使f’(η
1
)=f’(η
2
)=0;又由罗尔定理, η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),f"(η)=0。 注:由f’(x
0
)>0可得:在(x
0
-δ,x
0
)上,f(x)<f(x
0
);在(x
0
,x
0
+δ)上,f(x)>f(x
0
)。由f’(x
0
)>0得不到f(x)在(x
0
-δ,x
0
+δ)单调增的结果。
解析
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考研数学二
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